Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((x^2-\sin ^2y)\ dx+x \sin 2y \ dy=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[(x^2-\sin ^2y)\ dx+2x\cos y \sin y \ dy=0\]
\[(x^2-\sin ^2y)\ dx+x d(\sin^2y)=0\]
\[x^2\ dx-\left(\sin ^2y\ dx-x d(\sin^2y)\right)=0\]
\[x^2\ dx-\sin^4y \frac{\sin ^2y\ dx-x d(\sin^2y)}{\sin^4y}=0\]
\[x^2\ dx-\sin^4y \ d\left(\frac{x}{\sin^2 y}\right)=0\]
\[\frac{x^2}{\sin^4y}\ dx- \ d\left(\frac{x}{\sin^2 y}\right)=0\]
\[\left(\frac{x}{\sin^2y}\right)^2\ dx- \ d\left(\frac{x}{\sin^2 y}\right)=0\]
Произведем замену \(u=\dfrac{x}{\sin^2y}\):
\[u^2dx-du=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{u^2}du=dx\]
\[\int \frac{1}{u^2}du=\int dx\]
\[-\frac{1}{u}+C=x\]
При делении могло быть потеряно решение \(u=0 \ (x=0)\). Очевидно, \(x=0\) является решением.
Произведем обратную замену \(u=\dfrac{x}{\sin^2y}\):
\[-\dfrac{\sin^2y}{x}+C=x\]
\[-\dfrac{\sin^2y}{x}+C=x\]
\[-\sin^2y+Cx=x^2\]
\[\sin^2y=Cx-x^2\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\sin^2y=Cx-x^2; \ x=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий