Задача 215. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(x(\ln y+2 \ln x-1)\ dy=2y \ dx\).

Решение

Разделим уравнение на \(x\):

\[\ln y \ dy+2 \ln x \ dy-\ dy=2y\frac{1}{x} \ dx\]

Преобразуем уравнение:

\[\ln y \ dy+2 \ln x \ dy-\ dy=2y\ d(\ln x)\]

\[2\left(\ln x \ dy-y\ d(\ln x)\right)+\ln y \ dy-y\ d(\ln y)=0\]

Разделим уравнение на \(y^2\):

\[-2\frac{y\ d(\ln x)-\ln x \ dy}{y^2}-\frac{y\ d(\ln y)-\ln y \ dy}{y^2}=0\]

\[2d\left(\frac{\ln x}{y}\right)+d\left(\frac{\ln y}{y}\right)=0\]

\[d\left(2\frac{\ln x}{y} +\frac{\ln y}{y}\right)=0\]

\[d\left(\frac{\ln x^2y}{y} \right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[\frac{\ln x^2y}{y}=C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[\ln x^2y=Cy.\]