Задача 216. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((x^2+1)(2x \ dx+\cos y \ dy)=2x \sin y \ dx\).

Решение

Преобразуем уравнение:

\[(x^2+1)( d(x^2+1)+\ d(\sin y))= \sin y \ d(x^2+1)\]

Произведем замену \(u=x^2+1; \ v=\sin y\):

\[u \ du+u \ dv=v \ du\]

Разделим уравнение на \(u^2\) и преобразуем:

\[\frac{u \ dv-v \ du}{u^2}+\frac{du}{u}=0\]

\[d\left(\frac{v}{u}+\ln u\right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[\frac{v}{u}+\ln u=C\]

Произведем обратную замену \(u=x^2+1; \ v=\sin y\):

\[\frac{\sin y}{x^2+1}+\ln (x^2+1)=C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[\sin y=(x^2+1)(C-\ln (x^2+1)).\]