Задача 217. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((2x^3y^2-y) \ dx+(2x^2y^3-x) \ dy=0\).

Решение

Преобразуем уравнение:

\[2x^2y^2(x \ dx+y \ dy)-(y \ dx+x \ dy)=0\]

\[x^2y^2d(x^2+y^2)-d(xy)=0\]

Произведем замену \(u=x^2+y^2; \ v=xy\):

\[v^2du-dv=0\]

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

\[du=\frac{1}{v^2}dv\]

\[\int du=\int \frac{1}{v^2}dv\]

\[u=-\frac{1}{v}+C\]

При делении могло быть потеряно решение \(u=0\) (\(x=0\) и \(y=0\)). Очевидно, \(x=0\) и \(y=0\) являются решениями.

Произведем обратную замену \(u=x^2+y^2; \ v=xy\):

\[x^2+y^2=-\frac{1}{xy}+C\]

\[xy(x^2+y^2-C)=-1\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[xy(x^2+y^2-C)=-1; \ x=0; \ y=0.\]