Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(x^2y^3+y+(x^3y^2-x)y'=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[x^2y^3 \ dx+y \ dx+(x^3y^2-x) \ dy=0\]
\[x^2y^2(y \ dx+x \ dy) +y \ dx-x \ dy=0\]
\[x^2y^2d(xy) +y^2 d\left(\frac{x}{y}\right)=0\]
Произведем замену \(u=xy; \ v=\dfrac{x}{y}\). Так как \(y^2=\dfrac{u}{v}\), получаем:
\[u^2 \ du+\dfrac{u}{v}dv=0\]
\[u \ du+\dfrac{1}{v}dv=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[u \ du=-\dfrac{1}{v}dv\]
\[\int u \ du=-\int \dfrac{1}{v}dv\]
\[\frac{1}{2}u^2=-\ln|v|+\ln C\]
\[u^2=\ln \frac{C}{v^2}\]
Произведем обратную замену \(u=xy; \ v=\dfrac{x}{y}\).
\[x^2y^2=\ln \frac{Cy^2}{x^2}\]
\[x^2e^{x^2y^2}=Cy^2\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x^2e^{x^2y^2}=Cy^2.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий