Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: xy dx=(y3+x2y+x2) dy.
Решение
Запишем уравнение в виде:
xy dx−(y3+x2y+x2) dy=0
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
M(x,y)=xy, N(x,y)=−(y3+x2y+x2)
∂M∂y=∂∂y(xy)=x
∂N∂x=∂∂x(−y3−x2y−x2)=−2xy−2x
Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида μ(x):
Q=∂M∂y−∂N∂xN=−x+2xy+2xy3+x2y+x2
Так как Q не является функцией только от x, интегрирующего множителя вида μ(x) не существует.
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида μ(y):
Q=−∂M∂y−∂N∂xM=−x+2xy+2xxy=−2−3y
Так как Q является функцией только от y, интегрирующий множитель вида μ(y) существует и равен:
μ=e∫Qdy=e∫(−2−3y)dy=e−2y−3lny=y−3e−2y
Умножаем обе части исходного уравнения на y−3e−2y (y=0 является решением):
xy−2e−2y dx−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y dy=0
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
M(x,y)=xy−2e−2y, N(x,y)=−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y
∂M∂y=∂∂y(xy−2e−2y)=−2xy−2e−2y−2xy−3e−2y
∂N∂x=∂∂x(−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y)=−2xy−2e−2y−2xy−3e−2y
Получаем ∂M∂y=∂N∂x, следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию F(x,y), полный дифференциал которой dF(x,y)=F′x dx+F′y dy был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию F(x,y), что:
F′x=xy−2e−2y, F′y=−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y
Интегрируем F′x по x, считая y постоянным:
F=∫(xy−2e−2y) dx=12x2y−2e−2y+f(y)
Где f(y) — неизвестная функция от y.
Дифференцируем полученное выражение для F по y :
F′y=(12x2y−2e−2y+f(y))′y=−x2y−2e−2y−x2y−3e−2y+f′(y)
Так как F′y=−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y, получаем:
−x2y−2e−2y−x2y−3e−2y+f′(y)=−(1+x2y−2+x2y−3)e−2y
f′(y)=−e−2y
f(y)=12e−2y+const
Получаем F(x,y)=12x2y−2e−2y+12e−2y, и общее решение исходного уравнения имеет вид:
12x2y−2e−2y+12e−2y=C
(x2y−2+1)e−2y=C
x2y2+1=Ce2y
ln(x2y2+1)=C+2y
Таким образом, решение исходного уравнения:
ln(x2y2+1)=C+2y; y=0.
Комментариев нет:
Отправить комментарий