Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(xy \ dx =(y^3+x^2y+x^2) \ dy\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[xy \ dx-(y^3+x^2y+x^2) \ dy=0\]
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =xy , \ N(x,y)=-(y^3+x^2y+x^2)\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy )=x\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-y^3-x^2y-x^2)=-2xy-2x\]
Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида \(\mu(x)\):
\[Q=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=-\frac{x+2xy+2x}{y^3+x^2y+x^2}\]
Так как \(Q\) не является функцией только от \(x\), интегрирующего множителя вида \(\mu(x)\) не существует.
Проверим, существует ли интегрирующий множитель вида \(\mu(y)\):
\[Q=-\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{M}=-\frac{x+2xy+2x}{xy}=-2-\frac{3}{y}\]
Так как \(Q\) является функцией только от \(y\), интегрирующий множитель вида \(\mu(y)\) существует и равен:
\[\mu=e^{\int Q dy}=e^{\int \left(-2-\frac{3}{y}\right) dy}=e^{-2y-3\ln y}=y^{-3}e^{-2y}\]
Умножаем обе части исходного уравнения на \(y^{-3}e^{-2y}\) (\(y=0\) является решением):
\[xy^{-2}e^{-2y}\ dx-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y}\ dy=0\]
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =xy^{-2}e^{-2y} , \ N(x,y)=-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y}\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{-2}e^{-2y} )=-2xy^{-2}e^{-2y}-2xy^{-3}e^{-2y}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y})=-2xy^{-2}e^{-2y}-2xy^{-3}e^{-2y}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=xy^{-2}e^{-2y} , \ F'_y=-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y}\]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int (xy^{-2}e^{-2y}) \ dx=\frac{1}{2} x^2y^{-2}e^{-2y}+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left(\frac{1}{2} x^2y^{-2}e^{-2y}+f(y)\right)'_y=-x^2y^{-2}e^{-2y}-x^2y^{-3}e^{-2y}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y}\), получаем:
\[-x^2y^{-2}e^{-2y}-x^2y^{-3}e^{-2y}+f'(y)=-(1+x^2y^{-2}+x^2y^{-3}) e^{-2y}\]
\[f'(y)=-e^{-2y}\]
\[f(y)=\frac{1}{2}e^{-2y}+const\]
Получаем \(F(x,y)=\frac{1}{2} x^2y^{-2}e^{-2y}+\frac{1}{2}e^{-2y}\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[\frac{1}{2} x^2y^{-2}e^{-2y}+\frac{1}{2}e^{-2y}=C\]
\[(x^2y^{-2}+1)e^{-2y}=C\]
\[\frac{x^2}{y^2}+1=Ce^{2y}\]
\[\ln \left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)=C+2y\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln \left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)=C+2y; \ y=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий