Задача 207. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y^2 \ dx +(e^x-y)\ dy =0\).

Решение

Разделив уравнение на \(ye^x\) (\(y=0\) является решением), получим:

\[\frac{ydx-dy}{e^x}+\frac{1}{y}dy=0 \]

Выделим полный дифференциал используя формулу:

\[d\left(\frac{y}{e^x}\right)=-\frac{y}{e^x}dx+\frac{1}{e^x}dy=\frac{dy-y \ dx}{e^x}\]

Получаем:

\[-d\left(\frac{y}{e^x}\right)+\frac{1}{y}dy=0\]

\[-d\left(\frac{y}{e^x}\right)+d(\ln |y|)=0\]

\[d\left(-\frac{y}{e^x}+\ln |y|\right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[-\frac{y}{e^x}+\ln |y|=C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[-\frac{y}{e^x}+\ln |y|=C; \ y=0.\]