Задача 207. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y^2 \ dx +(e^x-y)\ dy =0$.

Решение

Разделив уравнение на $ye^x$ ($y=0$ является решением), получим:

$$\frac{ydx-dy}{e^x}+\frac{1}{y}dy=0$$

Выделим полный дифференциал используя формулу:

$$d\left(\frac{y}{e^x}\right)=-\frac{y}{e^x}dx+\frac{1}{e^x}dy=\frac{dy-y \ dx}{e^x}$$

Получаем:

$$-d\left(\frac{y}{e^x}\right)+\frac{1}{y}dy=0$$

$$-d\left(\frac{y}{e^x}\right)+d(\ln |y|)=0$$

$$d\left(-\frac{y}{e^x}+\ln |y|\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$-\frac{y}{e^x}+\ln |y|=C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$-\frac{y}{e^x}+\ln |y|=C; \ y=0.$$