Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y \ dx -x\ dy =2x^3\mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx\).
Решение
Разделив уравнение на \(x^2\), получим:
\[\frac{ y \ dx -x\ dy}{x^2} =2 \ x \ \mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx\]
\[-d\left(\frac{ y }{x}\right) =2 \ x \ \mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx\]
Произведем замену \(u=\dfrac{ y }{x} \):
\[-du=2x \ \mathrm{tg }\ u\ dx\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{\mathrm{tg }\ u} du=-2x \ dx\]
\[\int \frac{1}{\mathrm{tg }\ u} du=-2 \int x \ dx\]
\[\int \frac{d(\sin u)}{\sin u} =-2 \int x \ dx\]
\[\ln |\sin u|=-x^2+\ln C\]
\[\sin u=Ce^{-x^2}\]
Произведем обратную замену \(u=\dfrac{ y }{x} \):
\[\sin \left(\dfrac{ y }{x}\right)=Ce^{-x^2}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\sin \left(\dfrac{ y }{x}\right)=Ce^{-x^2}.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий