Задача 206. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y \ dx -x\ dy =2x^3\mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx$.

Решение

Разделив уравнение на $x^2$, получим:

$$\frac{ y \ dx -x\ dy}{x^2}  =2 \ x \ \mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx$$

$$-d\left(\frac{ y }{x}\right)  =2 \ x \ \mathrm{tg} \frac{y}{x} \ dx$$

Произведем замену $u=\dfrac{ y }{x}$:

$$-du=2x \ \mathrm{tg }\ u\ dx$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{1}{\mathrm{tg }\ u} du=-2x \ dx$$

$$\int \frac{1}{\mathrm{tg }\ u} du=-2 \int x \ dx$$

$$\int \frac{d(\sin u)}{\sin u} =-2 \int x \ dx$$

$$\ln |\sin u|=-x^2+\ln C$$

$$\sin u=Ce^{-x^2}$$

Произведем обратную замену $u=\dfrac{ y }{x}$:

$$\sin \left(\dfrac{ y }{x}\right)=Ce^{-x^2}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$\sin \left(\dfrac{ y }{x}\right)=Ce^{-x^2}.$$