Задача 205. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(x^2+2x+y) \ dx =(x-3x^2y) \ dy$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$(x^2+2x) \ dx+(y \ dx-x \ dy) +3x^2y \ dy=0$$

Разделив уравнение на $x^2$ ($x = 0$ является решением), получим:

$$(1+\frac{2}{x}) \ dx+\frac{y \ dx-x \ dy}{x^2}+3y \ dy=0$$

$$d\left(x+2\ln |x|\right)-d\left(\frac{y}{x}\right)+d\left(\frac{3}{2}y^2\right)=0$$

$$d\left(x+2\ln |x|-\frac{y}{x}+\frac{3}{2}y^2\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$x+2\ln |x|-\frac{y}{x}+\frac{3}{2}y^2=C; \ x=0.$$