Задача 205. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(x^2+2x+y)dx=(x-3x^{2}y)dy$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$(x^2+2x)dx+(ydx-xdy)+3x^{2}ydy=0$$

Разделив уравнение на $x^2$ ($x=0$ является решением), получим:

$$(1+\frac{2}{x})dx+\frac{ydx-xdy}{x^2}+3ydy=0$$

$$d(x+2\ln |x|)-d\left(\frac{y}{x}\right)+d\left(\frac{3}{2}{y}^2\right)=0$$

$$d(x+2\ln |x|-\frac{y}{x}+\frac{3}{2}{y}^2)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$x+2\ln |x|-\frac{y}{x}+\frac{3}{2}{y}^2=C;x=0.$$