Задача 204. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y(y^2+1)dx+x(y^2-x+1)dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$(y^2+1)(ydx+xdy)-x^{2}dy=0$$

$$(y^2+1)d(xy)-x^{2}dy=0$$

Умножим уравнение на $y^2$ и произведем замену $u=xy$:

$$y^2(y^2+1)du-u^{2}dy=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{1}{u^2}du=\frac{1}{y^2(y^2+1)}dy$$

$$\int \frac{1}{u^2}du=\int \frac{1}{y^2(y^2+1)}dy$$

Правый интеграл:

$$\int \frac{1}{y^2(y^2+1)}dy=\int \frac{1}{y^2}dy-\int \frac{1}{y^2+1}dy=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg}y+C$$

Получаем:

$$-\frac{1}{u}=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg}y+C$$

При делении могли быть потеряны решения $u=0(x=0)$ и $y=0$. Очевидно, $x=0$ и $y=0$ являются решениями исходного уравнения.

Произведем обратную замену $u=xy$:

$$-\frac{1}{xy}=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg}y+C$$

$$-1=-x-xy(\mathrm{arctg}y+C)$$

$$xy(\mathrm{arctg}y+C)=-x+1$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$xy(\mathrm{arctg}y+C)=-x+1;x=0;y=0.$$