Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y(y^2+1) \ dx +x(y^2-x+1) \ dy=0\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[(y^2+1)(y \ dx +x \ dy)-x^2 \ dy=0\]
\[(y^2+1)\ d(xy)-x^2 \ dy=0\]
Умножим уравнение на \(y^2\) и произведем замену \(u=xy\):
\[y^2(y^2+1)\ du-u^2 \ dy=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{u^2} du=\frac{1}{y^2(y^2+1)}dy\]
\[\int \frac{1}{u^2} du=\int \frac{1}{y^2(y^2+1)}dy\]
Правый интеграл:
\[\int \frac{1}{y^2(y^2+1)}dy=\int \frac{1}{y^2}dy-\int \frac{1}{y^2+1}dy=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg} \ y+C\]
Получаем:
\[-\frac{1}{u}=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg} \ y+C\]
При делении могли быть потеряны решения \(u=0 \ (x=0)\) и \( y=0\). Очевидно, \(x=0\) и \( y=0\) являются решениями исходного уравнения.
Произведем обратную замену \(u=xy\):
\[-\frac{1}{xy}=-\frac{1}{y}-\mathrm{arctg} \ y+C\]
\[-1=-x-xy(\mathrm{arctg} \ y+C)\]
\[xy(\mathrm{arctg} \ y+C)=-x+1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[xy(\mathrm{arctg} \ y+C)=-x+1; \ x=0; \ y=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий