Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y(x+y) \ dx+(xy+1) \ dy=0\).
Решение
Разделив уравнение на \(y\) (\(y = 0\) является решением), получим:
\[(x+y) \ dx+\left(x+\frac{1}{y}\right) \ dy=0\]
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =x+y, \ N(x,y)=x+\frac{1}{y}\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+\frac{1}{y})=1\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=x+y, \ F'_y=x+\frac{1}{y}\]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int (x+y) \ dx=\frac{1}{2} x^2+yx+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( \frac{1}{2} x^2+yx+f(y)\right)'_y=x+f'(y)\]
Так как \(F'_y=x+\frac{1}{y}\), получаем:
\[x+f'(y)=x+\frac{1}{y}\]
\[f'(y)=\frac{1}{y}\]
\[f(y)=\ln |y|+const\]
Получаем \(F(x,y)=\frac{1}{2} x^2+yx+\ln |y|\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[\frac{1}{2} x^2+yx+\ln |y|=C; \ y=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий