Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y^2 \ dx+(xy+\mathrm{tg} \ xy) \ dy=0\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[y(y \ dx+x \ dy)+\mathrm{tg} \ xy\ dy=0\]
\[y \ d(xy)+\mathrm{tg} \ xy\ dy=0\]
Произведем замену \(u=xy \):
\[y \ du+\mathrm{tg} \ u\ dy=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{\mathrm{tg} \ u}du=-\frac{1}{y}dy\]
\[\int \frac{1}{\mathrm{tg} \ u}du=-\int \frac{1}{y}dy\]
\[\int \frac{d(\sin u) }{\sin u}=-\int \frac{1}{y}dy\]
\[\ln |\sin u|=-\ln |y|+\ln C\]
\[\ln |y\sin u|=\ln C\]
\[y\sin u= C\]
Произведем обратную замену \(u=xy \):
\[y\sin xy= C\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y\sin xy= C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий