Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((x^2+3 \ln y)y \ dx =x \ dy\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[(x^2+3 \ln y) \ dx =\frac{x}{y} \ dy\]
\[(x^2+3 \ln y) \ dx =x \ d(\ln y)\]
Произведем замену \(u=\ln y \):
\[(x^2+3u) \ dx=x \ du\]
Запишем уравнение в виде:
\[x \ du-3u \ dx = x^2 dx\]
Разделив на \(x^4\) (\(x=0\) является решением), в левой части равенства получим полный дифференциал:
\[\frac{x \ du-3u \ dx}{x^4}=d\left(\frac{u}{x^3}\right)\]
Уравнение принимает вид:
\[d\left(\frac{u}{x^3}\right)=\frac{1}{x^2}dx\]
\[d\left(\frac{u}{x^3}\right)=-d\left(\frac{1}{x}\right)\]
\[d\left(\frac{u}{x^3}+\frac{1}{x}\right)=0\]
Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Соответственно, получаем решение этого уравнения:
\[\frac{u}{x^3}+\frac{1}{x}=C\]
\[u+x^2=Cx^3\]
Произведем обратную замену \(u=\ln y \):
\[\ln y+x^2=Cx^3\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln y+x^2=Cx^3; \ x=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий