Задача 200. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(\left(y-\dfrac{1}{x}\right)dx+\dfrac{dy}{y}=0\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[y \ dx -d(\ln x )+d(\ln y)=0\]

\[y \ dx +d(\ln \frac{y}{x} )=0\]

Произведем замену \(u=\ln \dfrac{y}{x}  \). Так как \(y=xe^u\), получаем:

\[xe^u \ dx+du=0\]

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

\[x \ dx=-\frac{1}{e^u} du\]

\[\int x \ dx=-\int \frac{1}{e^u} du\]

\[\frac{x^2}{2}=\frac{1}{e^u}+C\]

Произведем обратную замену \(u=\ln \dfrac{y}{x}\):

\[\frac{x^2}{2}=\frac{x}{y}+C\]

\[yx^2=2x+2Cy\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[y(x^2-2C)=2x.\]