Задача 200. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $\left(y-\dfrac{1}{x}\right)dx+\dfrac{dy}{y}=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$y \ dx -d(\ln x )+d(\ln y)=0$$

$$y \ dx +d(\ln \frac{y}{x} )=0$$

Произведем замену $u=\ln \dfrac{y}{x}$. Так как $y=xe^u$, получаем:

$$xe^u \ dx+du=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$x \ dx=-\frac{1}{e^u} du$$

$$\int x \ dx=-\int \frac{1}{e^u} du$$

$$\frac{x^2}{2}=\frac{1}{e^u}+C$$

Произведем обратную замену $u=\ln \dfrac{y}{x}$:

$$\frac{x^2}{2}=\frac{x}{y}+C$$

$$yx^2=2x+2Cy$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$y(x^2-2C)=2x.$$