Задача 199. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y^2 \ dx-(xy+x^3) \ dy$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$y(y \ dx-x\ dy)-x^3 \ dy=0$$

Разделив на $y^3$ ($y=0$ не является решением), получим:

$$\frac{y \ dx-x\ dy}{y^2}-\frac{x^3}{y^3}dy=0$$

$$d\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x^3}{y^3}dy=0$$

Произведем замену $u=\dfrac{x}{y}$:

$$du-u^3 \ dy=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{1}{u^3}du=dy$$

$$\int \frac{1}{u^3}du=\int dy$$

$$-\frac{1}{2u^2}+C=y$$

$$\frac{1}{u^2}=2(C-y)$$

При делении могло быть потеряно решение $u=0 (x=0)$. Очевидно, $x=0$ является решением. 

Произведем обратную замену $u=\dfrac{x}{y}$:

$$\frac{y^2}{x^2}=2(C-y)$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$y^2=2(C-y)x^2; \ x=0.$$