Задача 198. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(xy^2(xy'+y)=1\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[xy^2(x\frac{dy}{dx}+y)=1\]

\[xy^2(x\ dy+y \ dx)=dx\]

Выделяем полные дифференциалы:

\[xy^2d(xy)=dx\]

Произведем замену \(u=xy\):

\[u^2 \ du=x \ dx\]

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя, получим:

\[\int u^2 \ du=\int x \ dx\]

\[\frac{u^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C\]

Произведем обратную замену \(u=xy\):

\[\frac{x^3y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[2x^3y^3-3x^2=C.\]