Задача 198. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $xy^2(xy'+y)=1$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$xy^2(x\frac{dy}{dx}+y)=1$$

$$xy^2(x\ dy+y \ dx)=dx$$

Выделяем полные дифференциалы:

$$xy^2d(xy)=dx$$

Произведем замену $u=xy$:

$$u^2 \ du=x \ dx$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя, получим:

$$\int u^2 \ du=\int x \ dx$$

$$\frac{u^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C$$

Произведем обратную замену $u=xy$:

$$\frac{x^3y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$2x^3y^3-3x^2=C.$$