Задача 197. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y\ dy=(x \ dy +y \ dx)\sqrt{1+y^2}\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy=x \ dy +y \ dx\]

Выделяем полные дифференциалы:

\[d\left(\sqrt{1+y^2}\right)=d(xy)\]

Получаем: 

\[d\left(\sqrt{1+y^2}-xy\right)=0\]

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

\[\sqrt{1+y^2}-xy=C.\]