Задача 197. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y\ dy=(x \ dy +y \ dx)\sqrt{1+y^2}$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy=x \ dy +y \ dx$$

Выделяем полные дифференциалы:

$$d\left(\sqrt{1+y^2}\right)=d(xy)$$

Получаем: 

$$d\left(\sqrt{1+y^2}-xy\right)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$\sqrt{1+y^2}-xy=C.$$