Задача 196. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $\left(x^2+y^2+y\right)\ dx-x \ dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$\left(x^2+y^2\right)\ dx+y \ dx -x \ dy=0$$

Разделив уравнение на $y^2$, получим:

$$\left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)\ dx+\frac{y \ dx -x \ dy}{y^2}=0$$

$$\left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)\ dx+d\left(\frac{x}{y}\right)=0$$

Произведем замену $u=\dfrac{x}{y}$:

$$(u^2+1) \ dx+du=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{du}{u^2+1}=-dx$$

$$\int \frac{du}{u^2+1}=-\int dx$$

$$\mathrm{arctg}\ u=-x+C$$

Произведем замену $u=\dfrac{x}{y}$:

$$\mathrm{arctg}\dfrac{x}{y}=-x+C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$\mathrm{arctg}\dfrac{x}{y}+x=C$$