Задача 196. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(\left(x^2+y^2+y\right)\ dx-x \ dy=0\).

Решение

Запишем уравнение в виде:

\[\left(x^2+y^2\right)\ dx+y \ dx -x \ dy=0\]

Разделив уравнение на \(y^2\), получим:

\[\left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)\ dx+\frac{y \ dx -x \ dy}{y^2}=0\]

\[\left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)\ dx+d\left(\frac{x}{y}\right)=0\]

Произведем замену \(u=\dfrac{x}{y}\):

\[(u^2+1) \ dx+du=0\]

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

\[\frac{du}{u^2+1}=-dx\]

\[\int \frac{du}{u^2+1}=-\int dx\]

\[\mathrm{arctg}\ u=-x+C\]

Произведем замену \(u=\dfrac{x}{y}\):

\[\mathrm{arctg}\dfrac{x}{y}=-x+C\]

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[\mathrm{arctg}\dfrac{x}{y}+x=C\]