Задача 195. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $\left(x^2+y^2+x\right)\ dx+y \ dy=0$.

Решение

Запишем уравнение в виде:

$$(x^2+y^2)dx+\frac{1}{2}d(x^2+y^2)=0$$

Произведем замену $u=x^2+y^2$:

$$u  \ dx+\frac{1}{2}du=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{du}{u}=-2 \ dx$$

$$\int \frac{du}{u}=-\int 2 \ dx$$

$$\ln |u|=-2x+C$$

$$\ln |u|=-2x+C$$

Произведем обратную замену $u=x^2+y^2$:

$$\ln (x^2+y^2)=-2x+C$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$\ln (x^2+y^2)+2x=C.$$