Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(\left(x^2+y^2+x\right)\ dx+y \ dy=0\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[(x^2+y^2)dx+\frac{1}{2}d(x^2+y^2)=0\]
Произведем замену \(u=x^2+y^2\):
\[u \ dx+\frac{1}{2}du=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{du}{u}=-2 \ dx\]
\[\int \frac{du}{u}=-\int 2 \ dx\]
\[\ln |u|=-2x+C\]
\[\ln |u|=-2x+C\]
Произведем обратную замену \(u=x^2+y^2\):
\[\ln (x^2+y^2)=-2x+C\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln (x^2+y^2)+2x=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий