Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(\left(\dfrac{x}{\sin y}+2\right)\ dx+\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =\dfrac{x}{\sin y}+2, \ N(x,y)=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x}{\sin y}+2\right)=-\frac{x \cos y}{\sin^2 y}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \right)=\frac{2x \cos y}{\cos 2y -1}=-\frac{x \cos y}{\sin^2 y}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=\dfrac{x}{\sin y}+2, \ F'_y=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int \left( \dfrac{x}{\sin y}+2 \right)\ dx=\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x +f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left(\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x +f(y)\right)'_y=-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \), получаем:
\[-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \]
\[-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)=-\dfrac{(x^2+1) \cos y}{2\sin^2 y} \]
\[f'(y)=-\dfrac{\cos y}{2\sin^2 y}\]
\[f(y)=-\int \dfrac{\cos y}{2\sin^2 y} dy=-\int \dfrac{d(\sin y)}{2\sin^2 y}= \frac{1}{2\sin y}+const\]
Получаем \(F(x,y)=\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x+\dfrac{1}{2\sin y}\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x+\dfrac{1}{2\sin y}=C\]
\[\dfrac{x^2+1}{2\sin y}+2x=C\]
\[x^2+1=2(C-2x)\sin y.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий