Задача 194. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $\left(\dfrac{x}{\sin y}+2\right)\ dx+\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =\dfrac{x}{\sin y}+2, \ N(x,y)=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1}$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x}{\sin y}+2\right)=-\frac{x \cos y}{\sin^2 y}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1} \right)=\frac{2x \cos y}{\cos 2y -1}=-\frac{x \cos y}{\sin^2 y}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=\dfrac{x}{\sin y}+2, \ F'_y=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1}$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int \left( \dfrac{x}{\sin y}+2 \right)\ dx=\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x +f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left(\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x +f(y)\right)'_y=-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)$$

Так как $F'_y=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1}$, получаем:

$$-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)=\dfrac{(x^2+1) \cos y}{\cos 2y -1}$$

$$-\frac{x^2 \cos y}{2\sin^2 y}+f'(y)=-\dfrac{(x^2+1) \cos y}{2\sin^2 y}$$

$$f'(y)=-\dfrac{\cos y}{2\sin^2 y}$$

$$f(y)=-\int \dfrac{\cos y}{2\sin^2 y} dy=-\int \dfrac{d(\sin y)}{2\sin^2 y}= \frac{1}{2\sin y}+const$$

Получаем $F(x,y)=\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x+\dfrac{1}{2\sin y}$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$\dfrac{x^2}{2\sin y}+2x+\dfrac{1}{2\sin y}=C$$

$$\dfrac{x^2+1}{2\sin y}+2x=C$$

$$x^2+1=2(C-2x)\sin y.$$