Задача 193. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $3x^2(1+\ln y)\ dx=\left(2y -\dfrac{x^3}{y}\right) \ dy$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =3x^2(1+\ln y), \ N(x,y)=\dfrac{x^3}{y}-2y$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2(1+\ln y)\right)=\frac{3x^2}{y}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^3}{y}-2y\right)=\frac{3x^2}{y}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=3x^2(1+\ln y), \ F'_y=\dfrac{x^3}{y}-2y$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int  3x^2(1+\ln y) \ dx=x^3(1+\ln y) +f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( x^3(1+\ln y) +f(y)\right)'_y=\dfrac{x^3}{y}+f'(y)$$

Так как $F'_y=\dfrac{x^3}{y}-2y$, получаем:

$$\dfrac{x^3}{y}+f'(y)=\dfrac{x^3}{y}-2y$$

$$f'(y)=-2y$$

$$f(y)=-y^2+const$$

Получаем $F(x,y)=x^3(1+\ln y) -y^2$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x^3(1+\ln y) -y^2=C.$$