Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(3x^2(1+\ln y)\ dx=\left(2y -\dfrac{x^3}{y}\right) \ dy\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =3x^2(1+\ln y), \ N(x,y)=\dfrac{x^3}{y}-2y \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2(1+\ln y)\right)=\frac{3x^2}{y}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^3}{y}-2y\right)=\frac{3x^2}{y}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=3x^2(1+\ln y), \ F'_y=\dfrac{x^3}{y}-2y \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int 3x^2(1+\ln y) \ dx=x^3(1+\ln y) +f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( x^3(1+\ln y) +f(y)\right)'_y=\dfrac{x^3}{y}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=\dfrac{x^3}{y}-2y \), получаем:
\[\dfrac{x^3}{y}+f'(y)=\dfrac{x^3}{y}-2y \]
\[f'(y)=-2y\]
\[f(y)=-y^2+const\]
Получаем \(F(x,y)=x^3(1+\ln y) -y^2\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[x^3(1+\ln y) -y^2=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий