Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \((1+y^2 \sin 2x)\ dx-2y \cos^2x \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =1+y^2 \sin 2x, \ N(x,y)=-2y \cos^2x \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(1+y^2 \sin 2x\right)=2y \sin 2x\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-2y \cos^2x\right)=4y \cos x \sin x=2y \sin 2x\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=1+y^2 \sin 2x, \ F'_y=-2y \cos^2x \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int (1+y^2 \sin 2x) \ dx=x-y^2\frac{1}{2}\cos 2x+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( x-y^2\frac{1}{2}\cos 2x+f(y)\right)'_y=-y\cos 2x+f'(y)\]
Так как \(F'_y=-2y \cos^2x \), получаем:
\[-y\cos 2x+f'(y)=-2y \cos^2x \]
\[-y(1-2\sin^2 x)+f'(y)=-2y \cos^2x \]
\[f'(y)=y-2y(\sin^2 x+ \cos^2x) \]
\[f'(y)=-y \]
\[f(y)=-\frac{y^2}{2}+const\]
Получаем \(F(x,y)=x-y^2\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{y^2}{2}\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[x-y^2\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{y^2}{2}=C\]
\[x-y^2\dfrac{\cos 2x+1}{2}=C\]
\[x-y^2 \cos^2 x=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий