Задача 192. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $(1+y^2 \sin 2x)\ dx-2y \cos^2x \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =1+y^2 \sin 2x, \ N(x,y)=-2y \cos^2x$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(1+y^2 \sin 2x\right)=2y \sin 2x$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-2y \cos^2x\right)=4y \cos x \sin x=2y \sin 2x$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=1+y^2 \sin 2x, \ F'_y=-2y \cos^2x$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int  (1+y^2 \sin 2x) \ dx=x-y^2\frac{1}{2}\cos 2x+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( x-y^2\frac{1}{2}\cos 2x+f(y)\right)'_y=-y\cos 2x+f'(y)$$

Так как $F'_y=-2y \cos^2x$, получаем:

$$-y\cos 2x+f'(y)=-2y \cos^2x$$

$$-y(1-2\sin^2 x)+f'(y)=-2y \cos^2x$$

$$f'(y)=y-2y(\sin^2 x+ \cos^2x)$$

$$f'(y)=-y$$

$$f(y)=-\frac{y^2}{2}+const$$

Получаем $F(x,y)=x-y^2\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{y^2}{2}$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x-y^2\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{y^2}{2}=C$$

$$x-y^2\dfrac{\cos 2x+1}{2}=C$$

$$x-y^2 \cos^2 x=C.$$