Задача 191. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $2x (1+\sqrt{x^2-y})\ dx-\sqrt{x^2-y} \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =2x (1+\sqrt{x^2-y}), \ N(x,y)=-\sqrt{x^2-y}$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x (1+\sqrt{x^2-y})\right)=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-y}}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\sqrt{x^2-y}\right)=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-y}}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=2x (1+\sqrt{x^2-y}), \ F'_y=-\sqrt{x^2-y}$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int 2x (1+\sqrt{x^2-y}) \ dx=x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}+f(y)\right)'_y=-\sqrt{x^2-y}+f'(y)$$

Так как $F'_y=-\sqrt{x^2-y}$, получаем:

$$-\sqrt{x^2-y}+f'(y)=-\sqrt{x^2-y}$$

$$f'(y)=0$$

$$f(y)=const$$

Получаем $F(x,y)=x^2+\dfrac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}=C.$$