Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(2x (1+\sqrt{x^2-y})\ dx-\sqrt{x^2-y} \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =2x (1+\sqrt{x^2-y}), \ N(x,y)=-\sqrt{x^2-y} \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x (1+\sqrt{x^2-y})\right)=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-y}}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\sqrt{x^2-y}\right)=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-y}}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=2x (1+\sqrt{x^2-y}), \ F'_y=-\sqrt{x^2-y} \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int 2x (1+\sqrt{x^2-y}) \ dx=x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}+f(y)\right)'_y=-\sqrt{x^2-y}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=-\sqrt{x^2-y} \), получаем:
\[-\sqrt{x^2-y}+f'(y)=-\sqrt{x^2-y}\]
\[f'(y)=0\]
\[f(y)=const\]
Получаем \(F(x,y)=x^2+\dfrac{2}{3}(x^2-y)^{3/2} \), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[x^2+\frac{2}{3}(x^2-y)^{3/2}=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий