Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}\ dx-\dfrac{2x^3+5y}{y^3} \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}, \ N(x,y)=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3} \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{3x^2}{y^2}+1\right)=-\dfrac{6x^2}{y^3}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}\right)=-\dfrac{6x^2}{y^3}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}, \ F'_y=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3} \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int \dfrac{3x^2+y^2}{y^2} \ dx=\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( \dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+f(y)\right)'_y=-\frac{2x^3}{y^3}+f'(y)\]
Так как \(F'_y=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}\), получаем:
\[-\frac{2x^3}{y^3}+f'(y)=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}\]
\[f'(y)=-\frac{5}{y^2}\]
\[f(y)=\frac{5}{y} +const\]
Получаем \(F(x,y)=\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+\dfrac{5}{y} \), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+\dfrac{5}{y}=C\]
\[x+\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{5}{y}=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий