Задача 190. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}\ dx-\dfrac{2x^3+5y}{y^3} \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}, \ N(x,y)=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{3x^2}{y^2}+1\right)=-\dfrac{6x^2}{y^3}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}\right)=-\dfrac{6x^2}{y^3}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=\dfrac{3x^2+y^2}{y^2}, \ F'_y=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int \dfrac{3x^2+y^2}{y^2} \ dx=\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( \dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+f(y)\right)'_y=-\frac{2x^3}{y^3}+f'(y)$$

Так как $F'_y=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}$, получаем:

$$-\frac{2x^3}{y^3}+f'(y)=-\dfrac{2x^3+5y}{y^3}$$

$$f'(y)=-\frac{5}{y^2}$$

$$f(y)=\frac{5}{y} +const$$

Получаем $F(x,y)=\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+\dfrac{5}{y}$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$\dfrac{x^3+xy^2}{y^2}+\dfrac{5}{y}=C$$

$$x+\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{5}{y}=C.$$