Задача 189. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $\dfrac{y}{x}\ dx+(y^3+\ln x) \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =\dfrac{y}{x}, \ N(x,y)=y^3+\ln x$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{x}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(y^3+\ln x\right)=\dfrac{1}{x}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=\dfrac{y}{x}, \ F'_y=y^3+\ln x$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int \dfrac{y}{x} \ dx=y\ln x+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( y\ln x+f(y)\right)'_y=\ln x+f'(y)$$

Так как $F'_y=y^3+\ln x$, получаем:

$$\ln x+f'(y)=y^3+\ln x$$

$$f'(y)=y^3$$

$$f(y)=\frac{1}{4} y^4+const$$

Получаем $F(x,y)=y\ln x+\dfrac{1}{4} y^4$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$y\ln x+\dfrac{1}{4} y^4=C$$

$$4y\ln x+y^4=C.$$