Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(\dfrac{y}{x}\ dx+(y^3+\ln x) \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =\dfrac{y}{x}, \ N(x,y)=y^3+\ln x \]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{x}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(y^3+\ln x\right)=\dfrac{1}{x}\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=\dfrac{y}{x}, \ F'_y=y^3+\ln x \]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int \dfrac{y}{x} \ dx=y\ln x+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( y\ln x+f(y)\right)'_y=\ln x+f'(y)\]
Так как \(F'_y=y^3+\ln x\), получаем:
\[\ln x+f'(y)=y^3+\ln x\]
\[f'(y)=y^3\]
\[f(y)=\frac{1}{4} y^4+const\]
Получаем \(F(x,y)=y\ln x+\dfrac{1}{4} y^4\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[y\ln x+\dfrac{1}{4} y^4=C\]
\[4y\ln x+y^4=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий