Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Задача 189. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: yx dx+(y3+lnx) dy=0.

Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
M(x,y)=yx, N(x,y)=y3+lnx
My=y(yx)=1x
Nx=x(y3+lnx)=1x
Получаем My=Nx, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию F(x,y), полный дифференциал которой dF(x,y)=Fx dx+Fy dy был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию F(x,y), что:
Fx=yx, Fy=y3+lnx
Интегрируем Fx по x, считая y постоянным:
F=yx dx=ylnx+f(y)
Где f(y) — неизвестная функция от y
Дифференцируем полученное выражение для F по y :
Fy=(ylnx+f(y))y=lnx+f(y)
Так как Fy=y3+lnx, получаем:
lnx+f(y)=y3+lnx
f(y)=y3
f(y)=14y4+const
Получаем F(x,y)=ylnx+14y4, и общее решение исходного уравнения имеет вид:
ylnx+14y4=C
4ylnx+y4=C.

Комментариев нет:

Отправить комментарий