Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: yx dx+(y3+lnx) dy=0.
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
M(x,y)=yx, N(x,y)=y3+lnx
∂M∂y=∂∂y(yx)=1x
∂N∂x=∂∂x(y3+lnx)=1x
Получаем ∂M∂y=∂N∂x, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию F(x,y), полный дифференциал которой dF(x,y)=F′x dx+F′y dy был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию F(x,y), что:
F′x=yx, F′y=y3+lnx
Интегрируем F′x по x, считая y постоянным:
F=∫yx dx=ylnx+f(y)
Где f(y) — неизвестная функция от y.
Дифференцируем полученное выражение для F по y :
F′y=(ylnx+f(y))′y=lnx+f′(y)
Так как F′y=y3+lnx, получаем:
lnx+f′(y)=y3+lnx
f′(y)=y3
f(y)=14y4+const
Получаем F(x,y)=ylnx+14y4, и общее решение исходного уравнения имеет вид:
ylnx+14y4=C
4ylnx+y4=C.
Комментариев нет:
Отправить комментарий