Задача 188. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(e^{-y}\ dx-(2y+xe^{-y}) \ dy=0\).

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

\[M(x,y) =e^{-y}, \ N(x,y)=-(2y+xe^{-y}) \]

\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-y}\right)=-e^{-y}\]

\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-(2y+xe^{-y}) \right)=-e^{-y}\]

Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:

\[F'_x=e^{-y}, \ F'_y=-(2y+xe^{-y})\]

Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:

\[F=\int e^{-y} \ dx=xe^{-y}+f(y)\]

Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\). 

Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :

\[F'_y=\left( xe^{-y}+f(y)\right)'_y=-xe^{-y}+f'(y)\]

Так как \(F'_y=-(2y+xe^{-y})\), получаем:

\[-xe^{-y}+f'(y)=-(2y+xe^{-y})\]

\[f'(y)=-2y\]

\[f(y)=-y^2+const\]

Получаем \(F(x,y)=xe^{-y}-y^2\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:

\[xe^{-y}-y^2=C.\]