Задача 188. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $e^{-y}\ dx-(2y+xe^{-y}) \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =e^{-y}, \ N(x,y)=-(2y+xe^{-y})$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-y}\right)=-e^{-y}$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-(2y+xe^{-y}) \right)=-e^{-y}$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=e^{-y}, \ F'_y=-(2y+xe^{-y})$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int e^{-y} \ dx=xe^{-y}+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( xe^{-y}+f(y)\right)'_y=-xe^{-y}+f'(y)$$

Так как $F'_y=-(2y+xe^{-y})$, получаем:

$$-xe^{-y}+f'(y)=-(2y+xe^{-y})$$

$$f'(y)=-2y$$

$$f(y)=-y^2+const$$

Получаем $F(x,y)=xe^{-y}-y^2$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$xe^{-y}-y^2=C.$$