Задача 187. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $(2-9xy^2)x \ dx +(4y^2-6x^3)y \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =(2-9xy^2)x, \ N(x,y)=(4y^2-6x^3)y$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left((2-9xy^2)x\right)=-18x^2y$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left((4y^2-6x^3)y\right)=-18x^2y$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=(2-9xy^2)x, \ F'_y=(4y^2-6x^3)y$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int (2-9xy^2)x \ dx=x^2-3x^3y^2+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( x^2-3x^3y^2+f(y)\right)'_y=-6x^3y+f'(y)$$

Так как $F'_y=(4y^2-6x^3)y$, получаем:

$$-6x^3y+f'(y)=(4y^2-6x^3)y$$

$$f'(y)=4y^3$$

$$f(y)=y^4+const$$

Получаем $F(x,y)=x^2-3x^3y^2+y^4$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x^2-3x^3y^2+y^4=C.$$