Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: \(2xy \ dx +(x^2-y^2) \ dy=0\).
Решение
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =2xy, \ N(x,y)=x^2-y^2\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2)=2x\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=2xy, \ F'_y=x^2-y^2\]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int 2xy \ dx=yx^2+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( yx^2+f(y)\right)'_y=x^2+f'(y)\]
Так как \(F'_y=x^2-y^2\), получаем:
\[x^2+f'(y)=x^2-y^2\]
\[f'(y)=-y^2\]
\[f(y)=-\frac{1}{3}y^3+const\]
Получаем \(F(x,y)=yx^2-\dfrac{1}{3}y^3\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[yx^2-\dfrac{1}{3}y^3=C\]
\[3x^2y-y^3=C.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий