Задача 186. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и решить его: $2xy \ dx +(x^2-y^2) \ dy=0$.

Решение

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y) =2xy, \ N(x,y)=x^2-y^2$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2)=2x$$

Получаем $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F'_x=2xy, \ F'_y=x^2-y^2$$

Интегрируем $F'_x$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int 2xy \ dx=yx^2+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$. 

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F'_y=\left( yx^2+f(y)\right)'_y=x^2+f'(y)$$

Так как $F'_y=x^2-y^2$, получаем:

$$x^2+f'(y)=x^2-y^2$$

$$f'(y)=-y^2$$

$$f(y)=-\frac{1}{3}y^3+const$$

Получаем $F(x,y)=yx^2-\dfrac{1}{3}y^3$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$yx^2-\dfrac{1}{3}y^3=C$$

$$3x^2y-y^3=C.$$