Задача 135. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Начертить приближенно интегральные кривые следующих уравнений (не решая уравнений):
а) $y'=\dfrac{y(2 y-x)}{x^{2}}$
б) $y'=\dfrac{2 y^{2}-x^{2}}{x y}$
в) $y'=\dfrac{2 y^{3}-x^{2} y}{2 x^{2} y-x^{3}}$
г) $x y'=y+\sqrt{y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}}$

Тангенс угла между лучом $y=kx$ и пересекающей его интегральной кривой уравнения $y' = f(y/x)$ равен $(f(k)-k) / (1+ kf(k))$. Для приближенного построения интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от $k$.

Решение
Все уравнения являются однородными дифференциальными уравнениям, то есть могут быть представлены в виде:
$$y' = f\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)$$

Соответственно уравнение изоклин имеет вид:
$$f\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=k$$
где $k$ - постоянная.

Получаем, что изоклинами однородного дифференциального уравнения являются прямые проходящие через начало координат $y=ax$, где $a=f^{-1}(k)$.

Зная, что тангенс угла между прямой $y=ax$ и пересекающей его интегральной кривой уравнения $y' = f(y/x)$ равен $(f(a)-a) / (1+ af(a))$, для каждой изоклины можно найти угол между ней и интегральной кривой. Но, поскольку необходимо приближенное построение, можно построить изоклины у которых угол с интегральными равен нулю и далее проследить поведение интегральных кривых по знаку дроби:
$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}.$$

---

а) $y'=\dfrac{y(2 y-x)}{x^{2}}$
Преобразуем уравнение:
$$y'=2\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}$$
$$f(a)=2a^2-a$$
Уравнение узоклин: $y=ax$.
Найдем тангенс угла между изоклиной $y=ax$ и пересекающей его интегральной кривой:
$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{2a^2-a-a}{1+a(2a^2-a)}=2\frac{a^2-a}{1+2a^3-a^2}$$

$A=0$ (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при $a=0$ и $a=1$, при этом изоклины $y=0$ и $y=x$ являются решением исходного уравнения.
$A=\infty$ (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при $1+2a^3-a^2=0$ ($a\approx -0.657$, уравнение изоклины $y=-0.657x$).
При $a\to \infty$, $A \to 0$. Что означает, что для изоклины $x=0$ угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.

Построим зависимость $A(a)$:

Рассмотрим первую и третью четверть ($a \gt 0$) координатной плоскости:
$A\lt 0$ при $0\lt a \lt 1$ и $A\gt 0$ при $a \gt 1$.

Во второй и четвертой четверти ($a \lt 0$) координатной плоскости:
$A\lt 0$ при $a \lt -0.657$ и $A\gt 0$ при $-0.657 \lt a \lt 0$.

Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:

---

б) $y'=\dfrac{2 y^{2}-x^{2}}{x y}$
Преобразуем уравнение:
$$y'=2\dfrac{ y}{x}-\dfrac{ x}{y}$$
$$f(a)=2a-\frac{1}{a}$$
Уравнение узоклин: $y=ax$.
Найдем тангенс угла между изоклиной $y=ax$ и пересекающей его интегральной кривой:
$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{2a-\dfrac{1}{a}-a}{1+a(2a-\dfrac{1}{a})}=\frac{a-\dfrac{1}{a}}{2a^2}=\frac{a^2-1}{2a^3}$$
$A=0$ (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при $a=\pm 1$, при этом изоклины $y=x$ и $y=-x$ являются решением исходного уравнения.
$A=\infty$ (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при $a=0$, уравнение изоклины $y=0$.
При $a\to \infty$, $A \to 0$. Что означает, что для изоклины $x=0$ угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.

Построим зависимость $A(a)$:

Рассмотрим первую и третью четверть ($a \gt 0$) координатной плоскости:
$A\lt 0$ при $0\lt a \lt 1$ и $A\gt 0$ при $a \gt 1$.

Во второй и четвертой четверти ($a \lt 0$) координатной плоскости:
$A\lt 0$ при $a \lt -1$ и $A\gt 0$ при $-1 \lt a \lt 0$.

Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:

---

в) $y'=\dfrac{2 y^{3}-x^{2} y}{2 x^{2} y-x^{3}}$
Преобразуем уравнение:
$$y'=\frac{2\dfrac{y^3}{x^3} -\dfrac{y}{x}}{2\dfrac{y}{x}-1}$$
$$f(a)=\frac{2a^3-a}{2a-1}$$
Уравнение узоклин: $y=ax$.
Найдем тангенс угла между изоклиной $y=ax$ и пересекающей его интегральной кривой:
$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{\dfrac{2a^3-a}{2a-1}-a}{1+a\dfrac{2a^3-a}{2a-1}}=\frac{2a^3-2a^2}{2a-1+2a^4-a^2}=\frac{2a^2(a-1)}{2a^4-a^2+2a-1}$$
$A=0$ (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при $a=0$ и $a=1$, при этом изоклина $y=x$ является решением исходного уравнения.
$A=\infty$ (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при $2a^4-a^2+2a-1=0$. Данное уравнение имеет два решения, $a \approx 0.56$ и $a \approx -1.27$, соответствующие уравнения изоклин $y=0.56x$ и $y=-1.27x$.
При $a\to \infty$, $A \to 0$. Что означает, что для изоклины $x=0$ угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.

Построим зависимость $A(a)$:

Рассмотрим первую и третью четверть ($a \gt 0$) координатной плоскости:
$A\gt 0$ при $0\lt a \lt 0.56$; $A\lt 0$ при $0.56\lt a \lt 1$ и $A\gt 0$ при $a \gt 1$.

Во второй и четвертой четверти ($a \lt 0$) координатной плоскости:
$A\lt 0$ при $a \lt -1.27$ и $A\gt 0$ при $-1.27 \lt a \lt 0$.

Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:

---

г) $x y'=y+\sqrt{y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}}$
Сначала найдем область определения $y'$:
$$y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}\geqslant 0$$
Это неравенство дает две области (заштрихованные), отсекаемые прямыми $y=-x$ и $x=0$:

Преобразуем уравнение. При внесении $x$ под корень мы получаем два уравнения:
$$y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^{3}}{x^3}} \ (x \geqslant 0)$$
$$y'=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^{3}}{x^3}} \ (x \lt 0)$$
Такое разделение означает, что у интегральных кривых не будет симметрии по четвертям.

Соответственно получаем $f(a)$ при $a\geqslant-1$:
$$f(a)=a+\sqrt{a^2+a^3} \ (x \geqslant 0)$$
$$f(a)=a-\sqrt{a^2+a^3} \ (x \lt 0)$$

Уравнение узоклин: $y=ax$. В данном случае изоклинами являются лучи исходящие из центра координат.

Найдем тангенс угла между изоклиной $y=ax$ и пересекающей его интегральной кривой.
Для $x \geqslant 0$:

$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{a+\sqrt{a^2+a^3}-a}{1+a(a+\sqrt{a^2+a^3})}=\frac{\sqrt{a^2+a^3}}{1+a^2+a\sqrt{a^2+a^3}}$$

Для $x\lt 0$:
$$A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{a-\sqrt{a^2+a^3}-a}{1+a(a-\sqrt{a^2+a^3})}=-\frac{\sqrt{a^2+a^3}}{1+a^2-a\sqrt{a^2+a^3}}$$

Построим зависимость $A(a)$:

$A=0$ (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при $a=0$ и $a=-1$, при этом изоклина $y=0$ является решением исходного уравнения.
$A=\infty$ (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) только в случае $x\lt 0$ при $1+a^2-a\sqrt{a^2+a^3}=0$. Данное уравнение имеет решение $a \approx 1.36$, соответствующее уравнение изоклины $y=1.36x$.
При $a\to \infty$, $A \to 0$. Что означает, что для изоклины $x=0$ угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.

Учитывая полученную информацию (рассматривая отдельно полуплоскости $x \geqslant 0$ и $x\lt 0$, зная поведение функции $A(a)$), мы можем построить приближенно интегральные кривые: