а) \(y'=\dfrac{y(2 y-x)}{x^{2}}\)
б) \(y'=\dfrac{2 y^{2}-x^{2}}{x y}\)
в) \(y'=\dfrac{2 y^{3}-x^{2} y}{2 x^{2} y-x^{3}}\)
г) \(x y'=y+\sqrt{y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}}\)
Тангенс угла между лучом \(y=kx\) и пересекающей его интегральной кривой уравнения \(y' = f(y/x)\) равен \((f(k)-k) / (1+ kf(k))\). Для приближенного построения интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от \(k\).
Решение
Все уравнения являются однородными дифференциальными уравнениям, то есть могут быть представлены в виде:
\[y' = f\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\]
Соответственно уравнение изоклин имеет вид:
\[f\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=k\]
где \(k\) - постоянная.
Получаем, что изоклинами однородного дифференциального уравнения являются прямые проходящие через начало координат \(y=ax\), где \(a=f^{-1}(k)\).
Зная, что тангенс угла между прямой \(y=ax\) и пересекающей его интегральной кривой уравнения \(y' = f(y/x)\) равен \((f(a)-a) / (1+ af(a))\), для каждой изоклины можно найти угол между ней и интегральной кривой. Но, поскольку необходимо приближенное построение, можно построить изоклины у которых угол с интегральными равен нулю и далее проследить поведение интегральных кривых по знаку дроби:
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}.\]
а) \(y'=\dfrac{y(2 y-x)}{x^{2}}\)
Преобразуем уравнение:
\[y'=2\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}\]
\[f(a)=2a^2-a\]
Уравнение узоклин: \(y=ax\).
Найдем тангенс угла между изоклиной \(y=ax\) и пересекающей его интегральной кривой:
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{2a^2-a-a}{1+a(2a^2-a)}=2\frac{a^2-a}{1+2a^3-a^2}\]
\(A=0\) (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при \(a=0\) и \(a=1\), при этом изоклины \(y=0\) и \(y=x\) являются решением исходного уравнения.
\(A=\infty\) (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при \(1+2a^3-a^2=0\) (\(a\approx -0.657\), уравнение изоклины \(y=-0.657x\)).
При \(a\to \infty\), \(A \to 0\). Что означает, что для изоклины \(x=0\) угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.
Построим зависимость \(A(a)\):
Рассмотрим первую и третью четверть (\(a \gt 0\)) координатной плоскости:
\(A\lt 0\) при \(0\lt a \lt 1\) и \(A\gt 0\) при \(a \gt 1 \).
Во второй и четвертой четверти (\(a \lt 0\)) координатной плоскости:
\(A\lt 0\) при \(a \lt -0.657\) и \(A\gt 0\) при \( -0.657 \lt a \lt 0 \).
Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:
б) \(y'=\dfrac{2 y^{2}-x^{2}}{x y}\)
Преобразуем уравнение:
\[y'=2\dfrac{ y}{x}-\dfrac{ x}{y}\]
\[f(a)=2a-\frac{1}{a}\]
Уравнение узоклин: \(y=ax\).
Найдем тангенс угла между изоклиной \(y=ax\) и пересекающей его интегральной кривой:
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{2a-\dfrac{1}{a}-a}{1+a(2a-\dfrac{1}{a})}=\frac{a-\dfrac{1}{a}}{2a^2}=\frac{a^2-1}{2a^3}\]
\(A=0\) (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при \(a=\pm 1\), при этом изоклины \(y=x\) и \(y=-x\) являются решением исходного уравнения.
\(A=\infty\) (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при \(a=0\), уравнение изоклины \(y=0\).
При \(a\to \infty\), \(A \to 0\). Что означает, что для изоклины \(x=0\) угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.
Построим зависимость \(A(a)\):
Рассмотрим первую и третью четверть (\(a \gt 0\)) координатной плоскости:
\(A\lt 0\) при \(0\lt a \lt 1\) и \(A\gt 0\) при \(a \gt 1 \).
Во второй и четвертой четверти (\(a \lt 0\)) координатной плоскости:
\(A\lt 0\) при \( a \lt -1\) и \(A\gt 0\) при \(-1 \lt a \lt 0 \).
Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:
в) \(y'=\dfrac{2 y^{3}-x^{2} y}{2 x^{2} y-x^{3}}\)
Преобразуем уравнение:
\[y'=\frac{2\dfrac{y^3}{x^3} -\dfrac{y}{x}}{2\dfrac{y}{x}-1}\]
\[f(a)=\frac{2a^3-a}{2a-1}\]
Уравнение узоклин: \(y=ax\).
Найдем тангенс угла между изоклиной \(y=ax\) и пересекающей его интегральной кривой:
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{\dfrac{2a^3-a}{2a-1}-a}{1+a\dfrac{2a^3-a}{2a-1}}=\frac{2a^3-2a^2}{2a-1+2a^4-a^2}=\frac{2a^2(a-1)}{2a^4-a^2+2a-1}\]
\(A=0\) (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при \(a=0\) и \(a=1\), при этом изоклина \(y=x\) является решением исходного уравнения.
\(A=\infty\) (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) при \(2a^4-a^2+2a-1=0\). Данное уравнение имеет два решения, \(a \approx 0.56\) и \(a \approx -1.27\), соответствующие уравнения изоклин \(y=0.56x\) и \(y=-1.27x\).
При \(a\to \infty\), \(A \to 0\). Что означает, что для изоклины \(x=0\) угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.
Построим зависимость \(A(a)\):
Рассмотрим первую и третью четверть (\(a \gt 0\)) координатной плоскости:
\(A\gt 0\) при \(0\lt a \lt 0.56\); \(A\lt 0\) при \(0.56\lt a \lt 1\) и \(A\gt 0\) при \(a \gt 1 \).
Во второй и четвертой четверти (\(a \lt 0\)) координатной плоскости:
\(A\lt 0\) при \( a \lt -1.27\) и \(A\gt 0\) при \(-1.27 \lt a \lt 0 \).
Учитывая полученную информацию, мы можем построить приближенно интегральные кривые:
г) \(x y'=y+\sqrt{y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}}\)
Сначала найдем область определения \(y'\):
\[y^{2}+\dfrac{y^{3}}{x}\geqslant 0\]
Это неравенство дает две области (заштрихованные), отсекаемые прямыми \(y=-x\) и \(x=0\):
Преобразуем уравнение. При внесении \(x\) под корень мы получаем два уравнения:
\[y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^{3}}{x^3}} \ (x \geqslant 0) \]
\[y'=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^{3}}{x^3}} \ (x \lt 0) \]
Такое разделение означает, что у интегральных кривых не будет симметрии по четвертям.
Соответственно получаем \(f(a)\) при \(a\geqslant-1\):
\[f(a)=a+\sqrt{a^2+a^3} \ (x \geqslant 0) \]
\[f(a)=a-\sqrt{a^2+a^3} \ (x \lt 0) \]
Уравнение узоклин: \(y=ax\). В данном случае изоклинами являются лучи исходящие из центра координат.
Найдем тангенс угла между изоклиной \(y=ax\) и пересекающей его интегральной кривой.
Для \(x \geqslant 0\):
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{a+\sqrt{a^2+a^3}-a}{1+a(a+\sqrt{a^2+a^3})}=\frac{\sqrt{a^2+a^3}}{1+a^2+a\sqrt{a^2+a^3}}\]
Для \(x\lt 0\):
\[A=\frac{f(a)-a}{1+ af(a)}=\frac{a-\sqrt{a^2+a^3}-a}{1+a(a-\sqrt{a^2+a^3})}=-\frac{\sqrt{a^2+a^3}}{1+a^2-a\sqrt{a^2+a^3}}\]
Построим зависимость \(A(a)\):
\(A=0\) (угол между изоклиной и интегральной кривой равен нулю) при \(a=0\) и \(a=-1\), при этом изоклина \(y=0\) является решением исходного уравнения.
\(A=\infty\) (интегральные кривые пересекают изоклину под прямым углом) только в случае \(x\lt 0\) при \(1+a^2-a\sqrt{a^2+a^3}=0\). Данное уравнение имеет решение \(a \approx 1.36\), соответствующее уравнение изоклины \(y=1.36x\).
При \(a\to \infty\), \(A \to 0\). Что означает, что для изоклины \(x=0\) угол между этой изоклиной и интегральными кривыми равен нулю.
Учитывая полученную информацию (рассматривая отдельно полуплоскости \(x \geqslant 0\) и \(x\lt 0\), зная поведение функции \(A(a)\)), мы можем построить приближенно интегральные кривые:
Комментариев нет:
Отправить комментарий