Задача 133. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

При каких \(\alpha\) и \(\beta\) уравнение \(y'= ax^\alpha+by^\beta\) приводится к однородному с помощью замены \(y = z^m\).

Решение
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[mz^{m-1}z'=ax^\alpha+bz^{m\beta}\]
Это уравнение будет однородным, если \(m-1=\alpha=m\beta\). Получаем:
\[\alpha=m\beta \ \Rightarrow \ m=\frac{\alpha}{\beta}\]
\[m-1=\alpha \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{\beta}-1=\alpha \ \Rightarrow \ \frac{1}{\beta}-\frac{1}{\alpha}=1\]
Таким образом, уравнение \(y'= ax^\alpha+by^\beta\) приводится к однородному с помощью замены \(y = z^m\) при \(\dfrac{1}{\beta}-\dfrac{1}{\alpha}=1\).