Задача 133. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

При каких $\alpha$ и $\beta$ уравнение $y'= ax^\alpha+by^\beta$ приводится к однородному с помощью замены $y = z^m$.

Решение
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$mz^{m-1}z'=ax^\alpha+bz^{m\beta}$$
Это уравнение будет однородным, если $m-1=\alpha=m\beta$. Получаем:
$$\alpha=m\beta \ \Rightarrow \ m=\frac{\alpha}{\beta}$$
$$m-1=\alpha \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{\beta}-1=\alpha \ \Rightarrow \ \frac{1}{\beta}-\frac{1}{\alpha}=1$$
Таким образом, уравнение $y'= ax^\alpha+by^\beta$ приводится к однородному с помощью замены $y = z^m$ при $\dfrac{1}{\beta}-\dfrac{1}{\alpha}=1$.