Задача 132. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

Решение
Построим график в соответствии с условиями:

Отрезок $OB$ - расстояние от начала координат до касательной. Точка $C$ - абсцисса точки касания. Из условия получаем:
$$|OB|=|OC|$$
Треугольники $OBA$ и $OCA$ конгруэнтны ($OA$ общая сторона, $|OB|=|OC|$, углы противолежащие стороне $OA$ у обоих треугольников прямые), соответственно углы $BOA$ и $COA$ равны.
Треугольник $OBD$ является прямоугольным и $\gamma=90^o-\alpha$. Соответственно:
$$\beta=\frac{180^o-\gamma}{2}=\frac{90^o+\alpha}{2}$$
Получаем (используя формулу тангенса суммы двух углов):
$$\text{tg}\beta=\text{tg}\Bigl(45^o+\frac{\alpha}{2} \Bigr)=\frac{\text{tg}45^o+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}45^o \ \text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}$$
Так как $\text{tg}\beta=\dfrac{y}{x}$, получаем:
$$\frac{1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{y}{x}$$
$$1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}=\frac{y}{x}\Bigl(1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)$$
$$\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\Bigl(1+\dfrac{y}{x}\Bigr)=\dfrac{y}{x}-1$$
$$\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{y-x}{y+x}$$
Используя формулу тангенса двойного угла получим:
$$\text{tg}\alpha=\frac{2\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}^2\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{2\dfrac{y-x}{y+x}}{1-\dfrac{(y-x)^2}{(y+x)^2}}=2\frac{y^2-x^2}{(y+x)^2-(y-x)^2}=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$
Так как $\text{tg}\alpha=y'$, получаем дифференциальное уравнение:
$$y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$
Уравнение является однородным.
Проведем замену $y = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{t^2+1}{2t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{2t}{t^2+1} dt=-\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{2t}{t^2+1} dt=-\int\frac{1}{x}dx$$
$$\ln(t^2+1)=-\ln |x|+\ln C$$
Произведем обратную замену. Так как $y = tx$, получаем:
$$\ln(\frac{y^2}{x^2}+1)=-\ln |x|+\ln C$$
$$\ln\frac{y^2+x^2}{x}=\ln C$$
$$\frac{y^2+x^2}{x}= C$$
$$y^2+x^2= Cx$$
Таким образом, мы получили уравнение кривой, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания:
$$y^2+x^2= Cx.$$