Задача 132. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

Решение
Построим график в соответствии с условиями:

Отрезок \(OB\) - расстояние от начала координат до касательной. Точка \(C\) - абсцисса точки касания. Из условия получаем:
\[|OB|=|OC|\]
Треугольники \(OBA\) и \(OCA\) конгруэнтны (\(OA\) общая сторона, \(|OB|=|OC|\), углы противолежащие стороне \(OA\) у обоих треугольников прямые), соответственно углы \(BOA\) и \(COA\) равны.
Треугольник \(OBD\) является прямоугольным и \(\gamma=90^o-\alpha\). Соответственно:
\[\beta=\frac{180^o-\gamma}{2}=\frac{90^o+\alpha}{2}\]
Получаем (используя формулу тангенса суммы двух углов):
\[\text{tg}\beta=\text{tg}\Bigl(45^o+\frac{\alpha}{2} \Bigr)=\frac{\text{tg}45^o+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}45^o \ \text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}\]
Так как \(\text{tg}\beta=\dfrac{y}{x}\), получаем:
\[\frac{1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{y}{x}\]
\[1+\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}=\frac{y}{x}\Bigl(1-\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)\]
\[\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\Bigl(1+\dfrac{y}{x}\Bigr)=\dfrac{y}{x}-1\]
\[\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{y-x}{y+x}\]
Используя формулу тангенса двойного угла получим:
\[\text{tg}\alpha=\frac{2\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{1-\text{tg}^2\dfrac{\alpha}{2}}=\frac{2\dfrac{y-x}{y+x}}{1-\dfrac{(y-x)^2}{(y+x)^2}}=2\frac{y^2-x^2}{(y+x)^2-(y-x)^2}=\frac{y^2-x^2}{2xy}\]
Так как \(\text{tg}\alpha=y'\), получаем дифференциальное уравнение:
\[y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}\]
Уравнение является однородным.
Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t^2+1}{2t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{2t}{t^2+1} dt=-\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{2t}{t^2+1} dt=-\int\frac{1}{x}dx\]
\[\ln(t^2+1)=-\ln |x|+\ln C\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\), получаем:
\[\ln(\frac{y^2}{x^2}+1)=-\ln |x|+\ln C\]
\[\ln\frac{y^2+x^2}{x}=\ln C\]
\[\frac{y^2+x^2}{x}= C\]
\[y^2+x^2= Cx\]
Таким образом, мы получили уравнение кривой, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания:
\[y^2+x^2= Cx.\]