Задача 131. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Решение
Построим график в соответствии с условиями:

Точка \(B\) является точкой пересечения касательной и оси абсцисс. Поскольку она одинаково удалена от точки касания и от начала координат, получаем:
\[|OB|=|BA|\]
Треугольник OBA является равнобедренным и \(\gamma=180^o-2\beta\). Соответственно:
\[\alpha=180^o-\gamma=2\beta\]
Получаем:
\[\text{tg} \alpha=\text{tg} 2\beta=\frac{2 \text{tg} \beta}{1-\text{tg}^{2} \beta}\]
Учитывая что \(\text{tg} \beta=\dfrac{y}{x}\), получаем:
\[\text{tg} \alpha=\frac{2 \dfrac{y}{x}}{1- \dfrac{y^2}{x^2}}\]
\[\text{tg} \alpha=\frac{2 xy}{x^2-y^2}\]
Таким образом, учитывая геометрический смысл производной, получаем дифференциальное уравнение кривой:
\[y'=\frac{2 xy}{x^2-y^2}\]
Уравнение является однородным.
Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{2t}{1-t^2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{2t}{1-t^2}-t\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t(1+t^2)}{1-t^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1-t^2}{t(1+t^2)} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1-t^2}{t(1+t^2)} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Рассмотрим левый интеграл. Преобразуем дробь:
\[\frac{1-t^2}{t(1+t^2)} =\frac{1}{t(1+t^2)} -\frac{t}{1+t^2}=\frac{1+t^2-t^2}{t(1+t^2)} -\frac{t}{1+t^2}=\frac{1}{t}-2\frac{t}{1+t^2}\]
Получаем:
\[\int \frac{1}{t}dt-2\int\frac{t}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\int \frac{1}{t}dt-\int\frac{d(1+t^2)}{1+t^2}=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\ln|t|-\ln|1+t^2|=\ln Cx\]
\[\frac{t}{1+t^2}=Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\), получаем:
\[\frac{\dfrac{y}{x}}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=Cx\]
\[\frac{yx}{x^2+y^2}=Cx\]
\[y=C(x^2+y^2)\]
Таким образом, мы получили уравнение кривой, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат:
\[y=C(x^2+y^2).\]