Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y^2(y \ dx-2x \ dy)=x^3(x \ dy-2y \ dx)\).
Решение
Разделим уравнение на \(x^2y\) (\(x=0\) и \(y=0\) являются решениями):
\[\frac{y^2 \ dx-2xy \ dy}{x^2}=y\frac{x^2 \ dy-2xy \ dx}{y^2}\]
Преобразуем уравнение:
\[d\left(\frac{y^2}{x}\right)=yd\left(\frac{x^2}{y}\right)\]
Произведем замену \(u=\dfrac{y^2}{x}; \ v=\dfrac{x^2}{y}\). Выразим \(y\) через \(u\) и \(v\):
\[x=\frac{y^2}{u} \ \Rightarrow \ y=\frac{x^2}{v}=\frac{y^4 }{u^2v} \ \Rightarrow \ y^3=u^2v\ \Rightarrow \ y=u^{2/3}v^{1/3}\]
Получаем:
\[du=u^{2/3}v^{1/3} \ dv\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{u^{2/3}} du=v^{1/3} \ dv\]
\[\int \frac{1}{u^{2/3}} du=\int v^{1/3} \ dv\]
\[3u^{1/3}=\frac{3}{4}v^{4/3}+C\]
Произведем обратную замену \(u=\dfrac{y^2}{x}; \ v=\dfrac{x^2}{y}\).
\[3\frac{y^{2/3}}{x^{1/3}}=\frac{3}{4}\frac{x^{8/3}}{y^{4/3}}+C\]
\[3y^2=\frac{3}{4}x^3+Cx^{1/3}y^{4/3}\]
\[4y^2-x^3=Cx^{1/3}y^{4/3}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[4y^2-x^3=Cx^{1/3}y^{4/3}; \ x=0; \ y=0.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий