Задача 220. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y^2(y \ dx-2x \ dy)=x^3(x \ dy-2y \ dx)$.

Решение

Разделим уравнение на $x^2y$ ($x=0$ и $y=0$ являются решениями):

$$\frac{y^2 \ dx-2xy \ dy}{x^2}=y\frac{x^2 \ dy-2xy \ dx}{y^2}$$

Преобразуем уравнение:

$$d\left(\frac{y^2}{x}\right)=yd\left(\frac{x^2}{y}\right)$$

Произведем замену $u=\dfrac{y^2}{x}; \ v=\dfrac{x^2}{y}$. Выразим $y$ через $u$ и $v$:

$$x=\frac{y^2}{u} \ \Rightarrow \ y=\frac{x^2}{v}=\frac{y^4 }{u^2v} \ \Rightarrow \ y^3=u^2v\ \Rightarrow \ y=u^{2/3}v^{1/3}$$

Получаем:

$$du=u^{2/3}v^{1/3} \ dv$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:

$$\frac{1}{u^{2/3}} du=v^{1/3} \ dv$$

$$\int \frac{1}{u^{2/3}} du=\int v^{1/3} \ dv$$

$$3u^{1/3}=\frac{3}{4}v^{4/3}+C$$

Произведем обратную замену $u=\dfrac{y^2}{x}; \ v=\dfrac{x^2}{y}$. 

$$3\frac{y^{2/3}}{x^{1/3}}=\frac{3}{4}\frac{x^{8/3}}{y^{4/3}}+C$$

$$3y^2=\frac{3}{4}x^3+Cx^{1/3}y^{4/3}$$

$$4y^2-x^3=Cx^{1/3}y^{4/3}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:

$$4y^2-x^3=Cx^{1/3}y^{4/3}; \ x=0; \ y=0.$$