Задача 141. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $y=x\left(y^{\prime}-x \cos x\right)$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$xy'-y=x^2\cos x$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$xy'-y=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\ln|y|=\ln|x|+\ln C$$
$$y=Cx$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Cx$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'x+C$, то:
$$x(C'x+C)-Cx=x^2\cos x$$
$$C'=\cos x$$
$$C=\sin x+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=Cx=(\sin x+C_1)x$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=(\sin x+C_1)x$$