Задача 140. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $x^{2} y^{\prime}+x y+1=0$.

Решение
Найдем решение однородного уравнения:
$$x^2y'+xy=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln|y|=-\ln|x|+\ln C$$
$$y=\frac{C}{x}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=\dfrac{C}{x}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=\dfrac{C'}{x}-\dfrac{C}{x^2}=\dfrac{C'x-C}{x^2}$, то:
$$x^{2}\dfrac{C'x-C}{x^2} +x \frac{C}{x}+1=0$$
$$C'x=-1$$
$$C'=-\frac{1}{x}$$
$$C=-\ln|x|+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=\dfrac{C}{x}=\dfrac{-\ln|x|+C_1}{x}$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=\dfrac{-\ln|x|+C_1}{x}$$