Задача 139. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $\left(x y+e^{x}\right) dx-x \ dy=0$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$xy'-xy=e^x$$
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение $x=0$. Очевидно, $x=0$ является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$xy'-xy=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}= dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{dy}{y}=\int dx$$
$$\ln|y|=x+\ln C$$
$$y=Ce^x$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Ce^x$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C' e^x+Ce^x$, то:
$$x(C' e^x+Ce^x)-xCe^x=e^x$$
$$C'=\frac{1}{x}$$
$$C=\ln|x|+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=Ce^x=(\ln|x|+C_1)e^x$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
$$y=(\ln|x|+C_1)e^x; \ x=0.$$