Задача 138. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=\sec x$.

Решение
Найдем решение однородного уравнения:
$$y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=-\operatorname{tg} x \ dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=-\int\operatorname{tg} x \ dx$$
Правый интеграл:
$$\int\operatorname{tg} x \ dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|$$
Получаем:
$$\ln|y|=\ln|\cos x|+\ln C$$
$$y=C\cos x$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=C\cos x$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C' \cos x -C\sin x$, то:
$$C' \cos x -C\sin x+C\cos x \operatorname{tg} x=\sec x$$
$$C'=\frac{1}{\cos ^2 x}$$
$$C=\int \frac{1}{\cos ^2 x}=\operatorname{tg} x+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=C\cos x=(\operatorname{tg} x+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
$$y=\sin x+C_1\cos x$$