Задача 137. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $(2 x+1) y^{\prime}=4 x+2 y$.

Решение
Найдем решение однородного уравнения:
$$(2 x+1) y^{\prime}=2y$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{2x+1}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{2x+1}$$
$$\ln |y|=\ln|2x+1|+\ln C$$
$$y=C(2x+1)$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=C(2x+1)$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'(2x+1) +2C$, то:
$$(2 x+1) (C'(2x+1) +2C)=4 x+2 C(2x+1)$$
$$(2 x+1) C'(2x+1)=4 x$$
$$C'=\frac{4x}{(2 x+1)^2}$$
$$C=\int \frac{4x}{(2 x+1)^2}=2\int \frac{2x+1-1}{(2 x+1)^2}=\\ =2\int \frac{1}{2 x+1}-2\int \frac{1}{(2 x+1)^2}=\ln|2x+1|+\frac{1}{2x+1}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=C(2x+1)=(2x+1)(\ln|2x+1|+C_1) +1$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
$$y=(2x+1)(\ln|2x+1|+C_1) +1.$$