Задача 136. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $xy' - 2y = 2x^4$.

Решение
Найдем решение однородного уравнения:
$$xy' - 2y = 0$$
Разделим переменные:
$$x\frac{dy}{dx}=y$$
$$\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln |y|=2\ln|x|+\ln C$$
$$y=Cx^2$$
При делении могли быть потеряны решения $y=0$ и $x=0$. Очевидно, $y=0$ и $x=0$ не являются решениями.
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Cx^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'x^2+2Cx$, то:
$$x(C'x^2+2Cx)-2Cx^2=2x^4$$
$$C'x^3=2x^4$$
$$C'=2x$$
Получаем: $C=x^2+C_1$.

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=Cx^2=(x^2+C_1)x^2=x^4+C_1x^2$$
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
$$y=x^4+C_1x^2.$$