Задача 142. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2 x\left(x^{2}+y\right)\ dx=dy$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$y'-2xy=2 x^3$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$y'-2xy=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=2x \ dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=\int 2x \ dx$$
$$\ln|y|=x^2+\ln C$$
$$y=Ce^{x^2}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=Ce^{x^2}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'e^{x^2}+2Cxe^{x^2}$, то:
$$C'e^{x^2}+2Cxe^{x^2}-2xCe^{x^2}=2 x^3$$
$$C'=2x^3e^{-x^2}$$
$$C=\int 2x^3e^{-x^2} \ dx=\begin{bmatrix} u=-x^2 \\ du = -2x \ dx \\ \end{bmatrix}=\int ue^u \ du=\\=ue^u-e^u+C_1=-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C_1=-e^{-x^2}(x^2+1)+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=Ce^{x^2}=(-e^{-x^2}(x^2+1)+C_1)e^{x^2}=C_1e^{x^2}-x^2-1$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=C_1e^{x^2}-x^2-1$$