Задача 128. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(\dfrac{2}{3} xyy'=\sqrt{x^6-y^4}+y^2\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[\dfrac{2}{3} xz^mmz^{m-1}z'=\sqrt{x^6-z^{4m}}+z^{2m}\]
Для подкоренного выражения должно выполняться условие: \(6=4m\). То есть \(m=\dfrac{3}{2}\). Получаем \(y=z^{3/2}\):
\[\dfrac{2}{3} xz^{3/2}\dfrac{3}{2}z^{1/2}z'=\sqrt{x^6-z^6}+z^3\]
\[ xz^2z'=\sqrt{x^6-z^6}+z^3\]
\[ z'=\frac{\sqrt{x^6-z^6}+z^3}{xz^2}\]
\[ z'=\frac{\sqrt{x^6-z^6}}{xz^2}+\frac{z}{x}\]
\[ z'=\sqrt{\frac{x^6-z^6}{x^2z^4}}+\frac{z}{x}\]
\[ z'=\sqrt{\frac{x^4}{z^4}-\frac{z^2}{x^2}}+\frac{z}{x}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\sqrt{\frac{1}{t^4}-t^2}+t\]
\[x\frac{dt}{dx}=\sqrt{\frac{1}{t^4}-t^2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\sqrt{\frac{1-t^6}{t^4}}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{1-t^6}}{t^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{t^2}{\sqrt{1-t^6}} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^6}} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\frac{1}{3}\int \frac{d(t^3)}{\sqrt{1-t^6}} =\int \frac{1}{x}dx\]
\[\frac{1}{3}\arcsin(t^3) =\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[\frac{1}{3}\arcsin\Bigl(\frac{z^3}{x^3}\Bigr) =\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=z^{3/2}\), получаем:
\[\frac{1}{3}\arcsin\Bigl(\frac{y^2}{x^3}\Bigr) =\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(x = 0\) и \(t^2-1=0 \ (y^2=x^3)\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(y^2=x^3\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\frac{1}{3}\arcsin\Bigl(\frac{y^2}{x^3}\Bigr) =\ln Cx; \ y^2=x^3.\]