Задача 129. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2y+(x^2y+1)xy'=0$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2z^m+(x^2z^m+1)xmz^{m-1}z'=0$$
Это уравнение будет однородным, если $m=2+m+1+m-1=1+m-1$.
То есть при $m=-2$. Получаем $y=\dfrac{1}{z^2}$:
$$2\dfrac{1}{z^2}-2(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)x\dfrac{1}{z^3}z'=0$$
$$(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)xz'=z$$
$$(x^2+z^2)xz'=z^3$$
$$z'=\frac{z^3}{(x^2+z^2)x}$$
$$z'=\frac{\dfrac{z^3}{x^3} }{1+\dfrac{z^2}{x^2}}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}-t$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3-t-t^3}{1+t^2}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{1+t^2}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1+t^2}{t} dt=-\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{1+t^2}{t} dt=-\int\frac{1}{x}dx$$
$$\ln|t|+\frac{t^2}{2}+\ln C=-\ln |x|$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$\ln|\frac{z}{x}|+\frac{z^2}{2x^2}+\ln C=-\ln |x|$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\dfrac{1}{z^2}$, получаем:
$$\ln|\frac{1}{x\sqrt{y}}|+\frac{1}{2yx^2}+\ln C=-\ln |x|$$
$$2\ln\frac{Cx\sqrt{y}}{x}=\frac{1}{yx^2}$$
$$\ln Cy=\frac{1}{yx^2}$$
$$yx^2\ln Cy=1$$
При вводе замены $y=\dfrac{1}{z^2}$ могло быть потеряно решение $y=0$. Очевидно, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$yx^2\ln Cy=1; \ y=0.$$