Задача 129. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2y+(x^2y+1)xy'=0\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2z^m+(x^2z^m+1)xmz^{m-1}z'=0\]
Это уравнение будет однородным, если \(m=2+m+1+m-1=1+m-1\).
То есть при \(m=-2\). Получаем \(y=\dfrac{1}{z^2}\):
\[2\dfrac{1}{z^2}-2(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)x\dfrac{1}{z^3}z'=0\]
\[(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)xz'=z\]
\[(x^2+z^2)xz'=z^3\]
\[z'=\frac{z^3}{(x^2+z^2)x}\]
\[z'=\frac{\dfrac{z^3}{x^3} }{1+\dfrac{z^2}{x^2}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}-t\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3-t-t^3}{1+t^2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{1+t^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1+t^2}{t} dt=-\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{1+t^2}{t} dt=-\int\frac{1}{x}dx\]
\[\ln|t|+\frac{t^2}{2}+\ln C=-\ln |x|\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[\ln|\frac{z}{x}|+\frac{z^2}{2x^2}+\ln C=-\ln |x|\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{z^2}\), получаем:
\[\ln|\frac{1}{x\sqrt{y}}|+\frac{1}{2yx^2}+\ln C=-\ln |x|\]
\[2\ln\frac{Cx\sqrt{y}}{x}=\frac{1}{yx^2}\]
\[\ln Cy=\frac{1}{yx^2}\]
\[yx^2\ln Cy=1\]
При вводе замены \(y=\dfrac{1}{z^2}\) могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[yx^2\ln Cy=1; \ y=0.\]