Задача 127. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2xy'+y=y^2\sqrt{x-x^2y^2}\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2xmz^{m-1}z'+z^m=z^{2m}\sqrt{x-x^2z^{2m}}\]
Для подкоренного выражения должно выполняться: \(1=2+2m\). То есть \(m=-\dfrac{1}{2}\). Получаем \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\):
\[-x\dfrac{1}{(\sqrt{z})^3}z'+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=\dfrac{1}{z}\sqrt{x-x^2\dfrac{1}{z}}\]
\[-x\dfrac{1}{(\sqrt{z})^3}z'+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=\dfrac{\sqrt{x}}{z}\sqrt{1-\dfrac{x}{z}}\]
\[-\dfrac{x}{z}z'+1=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{z}}\sqrt{1-\dfrac{x}{z}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[-\frac{1}{t}(t+x\frac{dt}{dx})+1=\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{1-\dfrac{1}{t}}\]
\[-\frac{x}{t}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{1-\dfrac{1}{t}}\]
\[-x\frac{dt}{dx}=\sqrt{t}\sqrt{\dfrac{t-1}{t}}\]
\[-x\frac{dt}{dx}=\sqrt{t-1}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-\frac{1}{\sqrt{t-1}} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int\frac{1}{\sqrt{t-1}} dt=\int\frac{1}{x}dx\]
\[-2\sqrt{t-1}=\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[-2\sqrt{\frac{z}{x}-1}=\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\), получаем:
\[-2\sqrt{\frac{1}{y^2x}-1}=\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(x = 0\) и \(t-1=0 \ (y^2x=1)\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(y^2x=1\) является решением.
При вводе замены \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\) могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[-2\sqrt{\frac{1}{y^2x}-1}=\ln Cx; \ y^2x=1; \ y=0. \]