Задача 126. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(y'=y^2-\dfrac{2}{x^2}\).

Решение
Уравнение не является однородным. Преобразуем уравнение:
\[x^2y'=x^2y^2-2\]
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[x^2mz^{m-1}z'=x^2z^{2m}-2\]
Это уравнение будет однородным, если \(2+m-1=2+2m=0\). То есть при \(m=-1\). Получаем \(y=\dfrac{1}{z}\):
\[-x^2\frac{1}{z^2}z'=x^2\frac{1}{z^2}-2\]
\[z'=2\frac{z^2}{x^2}-1\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=2t^2-1\]
\[x\frac{dt}{dx}=2t^2-t-1\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{2t^2-t-1} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{2t^2-t-1} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл. Преобразуем дробь, найдя корни уравнения \(2t^2-t-1=0\):
\[\frac{1}{2t^2-t-1}=\frac{1}{2(t+\frac{1}{2})(t-1)}=\frac{1}{(2t+1)(t-1)}\]
Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
\[\frac{1}{(2t+1)(t-1)}=\frac{a}{2t+1}+\frac{b}{t-1}\]
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
\[at-a+2bt+b=1\]
\[t(a+2b)-a+b=1\]
Приравнивая коэффициенты при разных степенях \(t\), получаем систему:
\[\begin{cases}\ a+2b=0\\ b-a=1 \end{cases}\]
Отсюда: \(a=-\dfrac{2}{3}, \ b=\dfrac{1}{3}\).
Получаем:
\[\frac{1}{(2t+1)(t-1)}=-\dfrac{2}{3}\frac{1}{2t+1}+\dfrac{1}{3}\frac{1}{t-1}\]
Таким образом:
\[\dfrac{1}{3}\int\frac{1}{t-1} dt-\dfrac{2}{3}\int\frac{1}{2t+1}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\dfrac{1}{3}\ln|t-1|-\dfrac{1}{3}\ln|2t+1|=\ln Cx\]
\[\ln|\frac{t-1}{2t+1}|=\ln Cx^3\]
\[\frac{t-1}{2t+1}=Cx^3\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[\frac{\dfrac{z}{x}-1}{2\dfrac{z}{x}+1}=Cx^3\]
\[\frac{z-x}{2z+x}=Cx^3\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{z}\), получаем:
\[\frac{\dfrac{1}{y}-x}{2\dfrac{1}{y}+x}=Cx^3\]
\[\frac{1-yx}{2+yx}=Cx^3\]
\[(1-yx)=(2+yx)Cx^3\]
При делении могли быть потеряны решения \(x = 0\), \(t-1=0 \ (yx=1)\) и \(2t + 1=0 \ (xy=-2)\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(yx=1\) входит в общее решение при \(C=0\), \(xy=-2\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(1-yx)=(2+yx)Cx^3; \ xy=-2.\]