Задача 126. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $y'=y^2-\dfrac{2}{x^2}$.

Решение
Уравнение не является однородным. Преобразуем уравнение:
$$x^2y'=x^2y^2-2$$
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$x^2mz^{m-1}z'=x^2z^{2m}-2$$
Это уравнение будет однородным, если $2+m-1=2+2m=0$. То есть при $m=-1$. Получаем $y=\dfrac{1}{z}$:
$$-x^2\frac{1}{z^2}z'=x^2\frac{1}{z^2}-2$$
$$z'=2\frac{z^2}{x^2}-1$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=2t^2-1$$
$$x\frac{dt}{dx}=2t^2-t-1$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{2t^2-t-1} dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{2t^2-t-1} dt=\int \frac{1}{x}dx$$
Левый интеграл. Преобразуем дробь, найдя корни уравнения $2t^2-t-1=0$:
$$\frac{1}{2t^2-t-1}=\frac{1}{2(t+\frac{1}{2})(t-1)}=\frac{1}{(2t+1)(t-1)}$$
Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
$$\frac{1}{(2t+1)(t-1)}=\frac{a}{2t+1}+\frac{b}{t-1}$$
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
$$at-a+2bt+b=1$$
$$t(a+2b)-a+b=1$$
Приравнивая коэффициенты при разных степенях $t$, получаем систему:
$$\begin{cases}\ a+2b=0\\ b-a=1 \end{cases}$$
Отсюда: $a=-\dfrac{2}{3}, \ b=\dfrac{1}{3}$.
Получаем:
$$\frac{1}{(2t+1)(t-1)}=-\dfrac{2}{3}\frac{1}{2t+1}+\dfrac{1}{3}\frac{1}{t-1}$$
Таким образом:
$$\dfrac{1}{3}\int\frac{1}{t-1} dt-\dfrac{2}{3}\int\frac{1}{2t+1}dt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\dfrac{1}{3}\ln|t-1|-\dfrac{1}{3}\ln|2t+1|=\ln Cx$$
$$\ln|\frac{t-1}{2t+1}|=\ln Cx^3$$
$$\frac{t-1}{2t+1}=Cx^3$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$\frac{\dfrac{z}{x}-1}{2\dfrac{z}{x}+1}=Cx^3$$
$$\frac{z-x}{2z+x}=Cx^3$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\dfrac{1}{z}$, получаем:
$$\frac{\dfrac{1}{y}-x}{2\dfrac{1}{y}+x}=Cx^3$$
$$\frac{1-yx}{2+yx}=Cx^3$$
$$(1-yx)=(2+yx)Cx^3$$
При делении могли быть потеряны решения $x = 0$, $t-1=0 \ (yx=1)$ и $2t + 1=0 \ (xy=-2)$. Очевидно, $x=0$ не является решением, $yx=1$ входит в общее решение при $C=0$, $xy=-2$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$(1-yx)=(2+yx)Cx^3; \ xy=-2.$$