Задача 125. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2y'+x=4\sqrt{y}\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2mz^{m-1}z'+x=4z^{m/2}\]
Это уравнение будет однородным, если \(m-1=1=\frac{m}{2}\). То есть при \(m=2\). Получаем \(y=z^2\):
\[4zz'+x=4z\]
\[z'=1-\frac{x}{4z}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=1-\frac{1}{4t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{4t-1-4t^2}{4t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{(2t-1)^2}{4t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{4t}{(2t-1)^2} dt=-\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{4t}{(2t-1)^2} dt=-\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл:
\[\frac{4t}{(2t-1)^2}=\frac{4t-2+2}{(2t-1)^2}=2\frac{2t-1}{(2t-1)^2}+\frac{2}{(2t-1)^2}=\frac{2}{2t-1}+\frac{2}{(2t-1)^2}\]
Получаем:
\[\int\frac{2 \ dt}{2t-1}+\int \frac{2 \ dt}{(2t-1)^2}=-\int \frac{1}{x}dx\]
\[\ln|2t-1|-\frac{1}{2t-1}=-\ln Cx\]
\[\ln \Bigl( Cx(2t-1)\Bigr)=\frac{1}{2t-1}\]
\[(2t-1)\ln \Bigl( Cx(2t-1)\Bigr)=1\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[(2\frac{z}{x}-1)\ln \Bigl( Cx(2\frac{z}{x}-1)\Bigr)=1\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=z^2\):
\[(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1)\ln \Bigl( Cx(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1)\Bigr)=1\]
\[(2\sqrt{y}-x)\ln \Bigl( C(2\sqrt{y}-x)\Bigr)=x\]
При делении могли быть потеряны решения \(x = 0\) и \(2t = 1 \ (y=\dfrac{x^2}{4})\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(y=\dfrac{x^2}{4}\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(2\sqrt{y}-x)\ln \Bigl( C(2\sqrt{y}-x)\Bigr)=x; \ y=\dfrac{x^2}{4}.\]