Задача 125. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2y'+x=4\sqrt{y}$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2mz^{m-1}z'+x=4z^{m/2}$$
Это уравнение будет однородным, если $m-1=1=\frac{m}{2}$. То есть при $m=2$. Получаем $y=z^2$:
$$4zz'+x=4z$$
$$z'=1-\frac{x}{4z}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=1-\frac{1}{4t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{4t-1-4t^2}{4t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{(2t-1)^2}{4t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{4t}{(2t-1)^2} dt=-\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{4t}{(2t-1)^2} dt=-\int \frac{1}{x}dx$$
Левый интеграл:
$$\frac{4t}{(2t-1)^2}=\frac{4t-2+2}{(2t-1)^2}=2\frac{2t-1}{(2t-1)^2}+\frac{2}{(2t-1)^2}=\frac{2}{2t-1}+\frac{2}{(2t-1)^2}$$
Получаем:
$$\int\frac{2 \ dt}{2t-1}+\int \frac{2 \ dt}{(2t-1)^2}=-\int \frac{1}{x}dx$$
$$\ln|2t-1|-\frac{1}{2t-1}=-\ln Cx$$
$$\ln \Bigl( Cx(2t-1)\Bigr)=\frac{1}{2t-1}$$
$$(2t-1)\ln \Bigl( Cx(2t-1)\Bigr)=1$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$(2\frac{z}{x}-1)\ln \Bigl( Cx(2\frac{z}{x}-1)\Bigr)=1$$
Произведем обратную замену. Так как $y=z^2$:
$$(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1)\ln \Bigl( Cx(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1)\Bigr)=1$$
$$(2\sqrt{y}-x)\ln \Bigl( C(2\sqrt{y}-x)\Bigr)=x$$
При делении могли быть потеряны решения $x = 0$ и $2t = 1 \ (y=\dfrac{x^2}{4})$. Очевидно, $x=0$ не является решением, $y=\dfrac{x^2}{4}$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$(2\sqrt{y}-x)\ln \Bigl( C(2\sqrt{y}-x)\Bigr)=x; \ y=\dfrac{x^2}{4}.$$