Задача 124. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $y \ dx + x(2xy+1) \ dy=0$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
$$dy=mz^{m-1}dz$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$z^m \ dx+x(2xz^m+1) mz^{m-1} \ dz=0$$
Это уравнение будет однородным, если $m=1+1+m+m-1=1+m-1$.
То есть при $m=-1$. Получаем $y=\dfrac{1}{z}$:
$$\frac{1}{z} \ dx-x(2x\dfrac{1}{z}+1) \dfrac{1}{z^2} \ dz=0$$
$$z^2dx-x(2x+z) \ dz=0$$
$$\frac{dz}{dx} =\frac{z^2}{2x^2+zx}$$
$$\frac{dz}{dx} =\frac{\dfrac{z^2}{x^2}}{2+\dfrac{z}{x}}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2}{2+t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2}{2+t}-t$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2-2t-t^2}{2+t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{2t}{2+t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$-\frac{2+t}{2t} dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$-\int \frac{2+t}{2t} dt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$-\ln|t|-\frac{1}{2}t+\ln C=\ln |x|$$
$$\ln C=\ln |xt|+\frac{1}{2}t$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$\ln C=\ln |z|+\frac{1}{2}\frac{z}{x}$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\dfrac{1}{z}$:
$$\ln C=\ln |\frac{1}{y}|+\frac{1}{2}\frac{1}{yx}$$
$$\ln C|y|=\frac{1}{2yx}$$
$$C=y^2e^{-1/xy}$$
При делении могли быть потеряны решения $x = 0$ и $y = 0$. Очевидно, $x=0$ является решением, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$C=y^2e^{-1/xy}; \ x=0; \ y=0.$$