Задача 124. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(y \ dx + x(2xy+1) \ dy=0\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
\[dy=mz^{m-1}dz\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[z^m \ dx+x(2xz^m+1) mz^{m-1} \ dz=0\]
Это уравнение будет однородным, если \(m=1+1+m+m-1=1+m-1\).
То есть при \(m=-1\). Получаем \(y=\dfrac{1}{z}\):
\[\frac{1}{z} \ dx-x(2x\dfrac{1}{z}+1) \dfrac{1}{z^2} \ dz=0\]
\[ z^2dx-x(2x+z) \ dz=0\]
\[\frac{dz}{dx} =\frac{z^2}{2x^2+zx}\]
\[\frac{dz}{dx} =\frac{\dfrac{z^2}{x^2}}{2+\dfrac{z}{x}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2}{2+t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2}{2+t}-t\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t^2-2t-t^2}{2+t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{2t}{2+t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-\frac{2+t}{2t} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int \frac{2+t}{2t} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[-\ln|t|-\frac{1}{2}t+\ln C=\ln |x|\]
\[\ln C=\ln |xt|+\frac{1}{2}t\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[\ln C=\ln |z|+\frac{1}{2}\frac{z}{x}\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{z}\):
\[\ln C=\ln |\frac{1}{y}|+\frac{1}{2}\frac{1}{yx}\]
\[\ln C|y|=\frac{1}{2yx}\]
\[C=y^2e^{-1/xy}\]
При делении могли быть потеряны решения \(x = 0\) и \(y = 0\). Очевидно, \(x=0\) является решением, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[C=y^2e^{-1/xy}; \ x=0; \ y=0.\]