Задача 123. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2x \ dy + (x^2y^4+1)y \ dx=0\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
\[dy=mz^{m-1}dz\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2xmz^{m-1}dz+ (x^2z^{4m}+1)z^m \ dx=0\]
Это уравнение будет однородным, если \(1+m-1=2+4m+m=m\). То есть при \(m=-\dfrac{1}{2}\). Получаем \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\):
\[-2x\frac{1}{2} \dfrac{1}{(\sqrt{z})^3}dz+ (x^2\dfrac{1}{z^2}+1)\dfrac{1}{\sqrt{z}} \ dx=0\]
\[-xzdz+ (x^2+z^2) \ dx=0\]
\[\frac{dz}{dx}= \frac{x}{z} +\frac{z}{x} \]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=t+\frac{1}{t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[t dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int t dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\frac{t^2}{2}=\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[z^2=2x^2\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\):
\[1=2y^4x^2\ln Cx\]
При делении могло быть потеряно решение \(x = 0\). Очевидно, \(x=0\) является решением.
При вводе замены \(y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}\) могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[1=2y^4x^2\ln Cx; \ x=0; \ y=0.\]