Задача 123. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2xdy+(x^2{y}^4+1)ydx=0$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y^{\prime }=m{z}^{m-1}{z}^{\prime }$$
$$dy=m{z}^{m-1}dz$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2xm{z}^{m-1}dz+(x^2{z}^{4m}+1)z^{m}dx=0$$
Это уравнение будет однородным, если $1+m-1=2+4m+m=m$. То есть при $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Получаем $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{z}}}$:
$$-2x\frac{1}{2}{\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{z}{)}^3}}dz+(x^2{\displaystyle \frac{1}{z^2}}+1){\displaystyle \frac{1}{\sqrt{z}}}dx=0$$
$$-xzdz+(x^2+z^2)dx=0$$
$$\frac{dz}{dx}=\frac{x}{z}+\frac{z}{x}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z=tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=t+\frac{1}{t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$tdt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int tdt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\frac{t^2}{2}=\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $z=tx$, получаем:
$$z^2=2x^2\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{z}}}$:
$$1=2y^4{x}^2\ln Cx$$
При делении могло быть потеряно решение $x=0$. Очевидно, $x=0$ является решением.
При вводе замены $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{z}}}$ могло быть потеряно решение $y=0$. Очевидно, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$1=2y^4{x}^2\ln Cx;x=0;y=0.$$