Processing math: 100%

Задача 123. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение 2x dy+(x2y4+1)y dx=0.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену y=zm:
Найдем производную:
y=mzm1z
dy=mzm1dz
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
2xmzm1dz+(x2z4m+1)zm dx=0
Это уравнение будет однородным, если 1+m1=2+4m+m=m. То есть при m=12. Получаем y=1z:
2x121(z)3dz+(x21z2+1)1z dx=0
xzdz+(x2+z2) dx=0
dzdx=xz+zx
Уравнение является однородным. Проведем замену z=tx:
Найдем производную:
dzdx=t+xdtdx
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
t+xdtdx=t+1t
xdtdx=1t
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
tdt=1xdx
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
tdt=1xdx
t22=lnCx
Произведем обратную замену. Так как z=tx, получаем:
z2=2x2lnCx
Произведем обратную замену. Так как y=1z:
1=2y4x2lnCx
При делении могло быть потеряно решение x=0. Очевидно, x=0 является решением.
При вводе замены y=1z могло быть потеряно решение y=0. Очевидно, y=0 является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
1=2y4x2lnCx; x=0; y=0.

Комментариев нет:

Отправить комментарий