Задача 123. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2x \ dy + (x^2y^4+1)y \ dx=0$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
$$dy=mz^{m-1}dz$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2xmz^{m-1}dz+ (x^2z^{4m}+1)z^m \ dx=0$$
Это уравнение будет однородным, если $1+m-1=2+4m+m=m$. То есть при $m=-\dfrac{1}{2}$. Получаем $y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}$:
$$-2x\frac{1}{2} \dfrac{1}{(\sqrt{z})^3}dz+ (x^2\dfrac{1}{z^2}+1)\dfrac{1}{\sqrt{z}} \ dx=0$$
$$-xzdz+ (x^2+z^2) \ dx=0$$
$$\frac{dz}{dx}= \frac{x}{z} +\frac{z}{x}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=t+\frac{1}{t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$t dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int t dt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\frac{t^2}{2}=\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$z^2=2x^2\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}$:
$$1=2y^4x^2\ln Cx$$
При делении могло быть потеряно решение $x = 0$. Очевидно, $x=0$ является решением.
При вводе замены $y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}$ могло быть потеряно решение $y=0$. Очевидно, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$1=2y^4x^2\ln Cx; \ x=0; \ y=0.$$