Задача 122. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2x^2y'=y^3+xy\).

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2x^2mz^{m-1}z'=z^{3m}+xz^m\]
Это уравнение будет однородным, если \(2+m-1=3m=1+m\). То есть при \(m=\dfrac{1}{2}\). Получаем \(y=\sqrt{z}\):
\[2x^2\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{z}}z'=(\sqrt{z})^3 +x\sqrt{z}\]
\[x^2z'=z^2 +xz\]
\[z'=\frac{z^2}{x^2} +\frac{z}{x}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=t^2+t\]
\[x\frac{dt}{dx}=t^2\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{t^2} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{t^2} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[-\frac{1}{t}=\ln Cx\]
\[-1=t\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[-1=\frac{z}{x}\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\sqrt{z}\):
\[-x=y^2\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=0 \ (y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[-x=y^2\ln Cx; \ y=0.\]