Задача 122. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2x^2y'=y^3+xy$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y'=mz^{m-1}z'$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2x^2mz^{m-1}z'=z^{3m}+xz^m$$
Это уравнение будет однородным, если $2+m-1=3m=1+m$. То есть при $m=\dfrac{1}{2}$. Получаем $y=\sqrt{z}$:
$$2x^2\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{z}}z'=(\sqrt{z})^3 +x\sqrt{z}$$
$$x^2z'=z^2 +xz$$
$$z'=\frac{z^2}{x^2} +\frac{z}{x}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z = tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=t^2+t$$
$$x\frac{dt}{dx}=t^2$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{t^2} dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{t^2} dt=\int \frac{1}{x}dx$$
$$-\frac{1}{t}=\ln Cx$$
$$-1=t\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $z = tx$, получаем:
$$-1=\frac{z}{x}\ln Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $y=\sqrt{z}$:
$$-x=y^2\ln Cx$$
При делении могли быть потеряны решения $t=0 \ (y=0)$ и $x = 0$. Очевидно, $x=0$ не является решением, $y=0$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$-x=y^2\ln Cx; \ y=0.$$