Решить уравнение \(x^3(y'-x)=y^2\).
Решение
Уравнение не является однородным.
Преобразуем уравнение:
\[y'=\frac{y^2}{x^3}+x\]
\[y'=\frac{y^2+x^4}{x^3}\]
\[x^3dy=(y^2+x^4)dx\]
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[x^3mz^{m-1}dz=(z^{2m}+x^4)dx\]
Это уравнение будет однородным при \(m=2\). Получаем:
\[2x^3zdz=(z^4+x^4)dx\]
Преобразуем уравнение:
\[\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}\frac{z^3}{x^3}+\frac{1}{2}\frac{x}{z} \]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}t^3+\frac{1}{2}\frac{1}{t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\frac{t^4-2t^2+1}{t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\frac{(t^2-1)^2}{t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{2t}{(t^2-1)^2} dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{2t}{(t^2-1)^2} dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл:
\[\frac{2t}{(t^2-1)^2}=\frac{2t}{(t-1)^2(t+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{2}\frac{1}{(t+1)^2}\]
Получаем:
\[\int \frac{1}{2}\frac{1}{(t-1)^2}-\int \frac{1}{2}\frac{1}{(t+1)^2}=\int \frac{1}{x}dx\]
\[-\frac{1}{2}\frac{1}{(t-1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(t+1)}=\ln Cx\]
\[\frac{1}{1-t^2}=\ln Cx\]
\[(1-t^2)\ln Cx=1\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[(1-\frac{z^2}{x^2})\ln Cx=1\]
\[\frac{x^2-z^2}{x^2}\ln Cx=1\]
\[(x^2-z^2)\ln Cx=x^2\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=z^2\):
\[(x^2-y)\ln Cx=x^2\]
При делении могли быть потеряны решения \(t^2=1 \ (y=x^2)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(x=0\) не является решением, \(y=x^2\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(x^2-y)\ln Cx=x^2; \ y=x^2.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий