Задача 120. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(y'=\dfrac{y+2}{x+1}+\text{tg}\dfrac{y-2x}{x+1}\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду.
Преобразуем уравнение:
\[y'=\dfrac{y+2}{x+1}+\text{tg}\dfrac{y+2-2-2x}{x+1}\]
\[y'=\dfrac{y+2}{x+1}+\text{tg}\Bigl(\dfrac{y+2}{x+1}-\dfrac{2+2x}{x+1}\Bigr)\]
\[y'=\dfrac{y+2}{x+1}+\text{tg}\Bigl(\dfrac{y+2}{x+1}-2\Bigr)\]
Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(y+2 = 0\) и \(x+1=0\):
Проведем замену \(x=x_1-1, y=y_1-2\):
\[y_1'=\dfrac{y_1-2+2}{x_1-1+1}+\text{tg}\Bigl(\dfrac{y_1-2+2}{x_1-1+1}-2\Bigr)\]
\[y_1'=\dfrac{y_1}{x_1}+\text{tg}\Bigl(\dfrac{y_1}{x_1}-2\Bigr)\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x_1\frac{dt}{dx_1}=t+\text{tg}(t-2)\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\text{tg}(t-2)\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{\text{tg}(t-2)} dt=\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{\text{tg}(t-2)} dt=\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл:
\[\int \frac{1}{\text{tg}(t-2)} dt=\int \frac{\cos(t-2)}{\sin(t-2)} dt=\int \frac{d(\sin(t-2))}{\sin(t-2)} =\ln\sin(t-2)+\ln C\]
Получаем:
\[\ln\sin(t-2)+\ln C=\ln|x_1|\]
\[C\sin(t-2)=x_1\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\), получаем:
\[C\sin \Bigl(\frac{y_1}{x_1}-2\Bigr)=x_1\]
Произведем обратную замену к \(x\) и \(y\). Так как \(x=x_1-1, \ y=y_1-2\), соответственно \(x_1=x+1, \ y_1=y+2\), получаем:
\[C\sin \Bigl(\frac{y+2}{x+1}-2\Bigr)=x+1\]
\[C\sin \Bigl(\frac{y-2x}{x+1}\Bigr)=x+1\]
При делении могли быть потеряны решения \(\text{tg}(t-2)=0 \ (\frac{y-2x}{x+1}=n\pi, n\in\Bbb Z)\) и \(x_1 = 0 \ (x+1=0)\). Очевидно, \(x+1=0\) входит в общее решение при \(C=0\), \(\frac{y-2x}{x+1}=n\pi, n\in\Bbb Z\) входит в общее решение при \(C=\infty\).
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[C\sin \Bigl(\frac{y-2x}{x+1}\Bigr)=x+1.\]